Podemos encontrar a fatoração LU de A diretamente, usando simplesmente a definição de produto de matrizes. Esquemas deste tipo são conhecidos como esquemas compactos, e o equivalente à fatoração A=LU com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior é chamado de redução de Doolittle.
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
a) multiplique a primeira linha de L pela j -ésima coluna de U e iguale a a1 j. Verifique que desta forma obtém-se o elemento u1 j;
b) repita o item (a), multiplicando agora a i-ésima linha de L pela primeira coluna de U , e igualando a ai 1 será possível obter li 1;
c) use o mesmo raciocínio de (a) e (b) para deduzir que, se as ( k-1 ) primeiras linhas de U e colunas de L já foram determinadas, então
uk j=ak j-summ=1^k-1 lk m um j, j=k,(k+1), ldots, n
e
1i k=(ai k-summ=1^k-1 1i m um k) / uk k, i=(k+1), ldots, n ;
d) explique por que, se A é não singular, então U também o será, donde ukk neq 0, k=1, ldots, n ;
e) escreva um algoritmo para a fatoração LU de A usando a redução de Doolittle;
f) teste seu algoritmo, fatorando A e entāo resolvendo o sistema abaixo, sendo
A=(rrrr 2 & 3 & 1 & 5 1 & 3.5 & 1 & 7.5 1.4 & 2.7 & 5.5 & 12 -2 & 1 & 3 & 28 ) e b=(r 11 13 21.6 30 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a fatoração LU de uma matriz usando o método de Doolittle. A fatoração LU é quando a gente decompõe a matriz em duas matrizes: (triangular inferior com diagonal 1) e (triangular superior). Isso é útil para resolver sistemas lineares de forma mais fácil. Para resolver os itens a) até f), vamos precisar entender como multiplicar linhas e colunas de matrizes, além de aplicar fórmulas específicas para encontrar os elementos de e .

Passo 2

Item a)

Vamos começar multiplicando a primeira linha de u1j = a1j pela -ésima coluna de e igualando ao elemento da matriz . Como tem 1 na diagonal, a primeira linha de é . A multiplicação fica simples:
Ou seja, os elementos da primeira linha de são iguais aos da primeira linha de .

Passo 3

Item b)

Agora, vamos multiplicar a li1 = ai1u11 -ésima linha de pela primeira coluna de e igualar ao elemento . Como tem a primeira coluna com e zeros abaixo na primeira coluna de :
Isso nos dá os elementos da primeira coluna de .

Passo 4

Item c)

Para o próximo passo, vamos supor que já determinamos as primeiras ukj = akj - summ=1^k-1 lkm umj, para j = k, k+1, ldots, n linhas de lik = aik - summ=1^k-1 lim umkukk, para i = k+1, ldots, n e as primeiras colunas de . Agora, para encontrar , usamos:
E para encontrar :
Isso significa que a gente ajusta os elementos de e subtraindo as contribuições já conhecidas das linhas e colunas anteriores.

Passo 5

Item d)

Se a matriz é não singular, isso quer dizer que ela tem inversa, ou seja, . Na fatoração LU, temos . Como tem 1 na diagonal, , então . Isso significa que os elementos da diagonal de , , também não são zero para todo .

Passo 6

Item e)

Vamos escrever um algoritmo para a fatoração LU usando a redução de Doolittle:
  1. Inicialização: Defina ukj = akj - summ=1^k-1 lkm umj como uma matriz identidade e lik = aik - summ=1^k-1 lim umkukk como uma matriz zero.
  2. Para cada coluna de 1 a :
    • Calcular para até :
    • Calcular para até :
  3. Finalizar: Após preencher todas as entradas de e , a fatoração está completa.

Passo 7

Item f)

Vamos testar o algoritmo com a matriz A = 2 & 3 & 1 & 5 1 & 3.5 & 1 & 7.5 1.4 & 2.7 & 5.5 & 12 -2 & 1 & 3 & 28 , b = 11 13 21.6 30 e o vetor L = 1 & 0 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 & 0 0.7 & 0.3 & 1 & 0 -1 & 2 & 0.5 & 1 , U = 2 & 3 & 1 & 5 0 & 2 & 0.5 & 5 0 & 0 & 5 & 7 0 & 0 & 0 & 34 dados:
y1 = 11 0.5 y1 + y2 = 13 Rightarrow y2 = 13 - 0.5 times 11 = 7.5 0.7 y1 + 0.3 y2 + y3 = 21.6 Rightarrow y3 = 21.6 - (0.7 times 11) - (0.3 times 7.5) = 21.6 - 7.7 - 2.25 = 11.65 -1 y1 + 2 y2 + 0.5 y3 + y4 = 30 Rightarrow y4 = 30 + 11 - 15 - 5.825 = 30 + 11 - 15 - 5.825 = 20.175
Passo a Passo da Fatoração LU:
  1. k = 1:
    • 2 x1 + 3 x2 + 1 x3 + 5 x4 = 11 2 x2 + 0.5 x3 + 5 x4 = 7.5 5 x3 + 7 x4 = 11.65 34 x4 = 20.175 Rightarrow x4 = 20.17534 approx 0.592
    • 5 x3 + 7 times 0.592 approx 11.65 Rightarrow 5 x3 approx 11.65 - 4.144 Rightarrow x3 approx 7.5065 approx 1.501
    • 2 x2 + 0.5 times 1.501 + 5 times 0.592 approx 7.5 Rightarrow 2 x2 + 0.7505 + 2.96 approx 7.5 Rightarrow 2 x2 approx 3.7895 Rightarrow x2 approx 1.895
    • 2 x1 + 3 times 1.895 + 1 times 1.501 + 5 times 0.592 approx 11 Rightarrow 2 x1 + 5.685 + 1.501 + 2.96 approx 11 Rightarrow 2 x1 approx 0.854 Rightarrow x1 approx 0.427
  2. k = 2:
  3. k = 3:
  4. k = 4:
Matrizes e :
Resolvendo o Sistema :
  1. Resolvendo :
  2. Resolvendo :
    Substituindo nas equações anteriores:

Resposta

A solução do sistema é aproximadamente:
x approx 0.427 1.895 1.501 0.592

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