Podemos encontrar a fatoração LU de A diretamente, usando simplesmente a definição de produto de matrizes. Esquemas deste tipo são conhecidos como esquemas compactos, e o equivalente à fatoração com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior é chamado de redução de Doolittle.
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
a) multiplique a primeira linha de L pela j -ésima coluna de U e iguale a . Verifique que desta forma obtém-se o elemento ;
b) repita o item (a), multiplicando agora a i-ésima linha de L pela primeira coluna de U , e igualando a será possível obter ;
c) use o mesmo raciocínio de (a) e (b) para deduzir que, se as ( ) primeiras linhas de U e colunas de L já foram determinadas, então
e

d) explique por que, se A é não singular, então também o será, donde ,
e) escreva um algoritmo para a fatoração LU de A usando a redução de Doolittle;
f) teste seu algoritmo, fatorando A e entāo resolvendo o sistema abaixo, sendo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a fatoração LU de uma matriz usando o método de Doolittle. A fatoração LU é quando a gente decompõe a matriz em duas matrizes: (triangular inferior com diagonal 1) e (triangular superior). Isso é útil para resolver sistemas lineares de forma mais fácil. Para resolver os itens a) até f), vamos precisar entender como multiplicar linhas e colunas de matrizes, além de aplicar fórmulas específicas para encontrar os elementos de e .

Passo 2

Item a)

Vamos começar multiplicando a primeira linha de pela -ésima coluna de e igualando ao elemento da matriz . Como tem 1 na diagonal, a primeira linha de é . A multiplicação fica simples:
Ou seja, os elementos da primeira linha de são iguais aos da primeira linha de .

Passo 3

Item b)

Agora, vamos multiplicar a -ésima linha de pela primeira coluna de e igualar ao elemento . Como tem a primeira coluna com e zeros abaixo na primeira coluna de :
Isso nos dá os elementos da primeira coluna de .

Passo 4

Item c)

Para o próximo passo, vamos supor que já determinamos as primeiras linhas de e as primeiras colunas de . Agora, para encontrar , usamos:
E para encontrar :
Isso significa que a gente ajusta os elementos de e subtraindo as contribuições já conhecidas das linhas e colunas anteriores.

Passo 5

Item d)

Se a matriz é não singular, isso quer dizer que ela tem inversa, ou seja, . Na fatoração LU, temos . Como tem 1 na diagonal, , então . Isso significa que os elementos da diagonal de , , também não são zero para todo .

Passo 6

Item e)

Vamos escrever um algoritmo para a fatoração LU usando a redução de Doolittle:
  1. Inicialização: Defina como uma matriz identidade e como uma matriz zero.
  2. Para cada coluna de 1 a :
    • Calcular para até :
    • Calcular para até :
  3. Finalizar: Após preencher todas as entradas de e , a fatoração está completa.

Passo 7

Item f)

Vamos testar o algoritmo com a matriz e o vetor dados:
Passo a Passo da Fatoração LU:
  1. k = 1:
  2. k = 2:
  3. k = 3:
  4. k = 4:
Matrizes e :
Resolvendo o Sistema :
  1. Resolvendo :
  2. Resolvendo :
    Substituindo nas equações anteriores:

Resposta

A solução do sistema é aproximadamente:

Exercícios relacionados

(2, 5 pontos) Considere o sistema linear:
Verificar a poossibilidade de aplicação do método de Gauss-Seidel.
Analise os sistemas lineares abaixo com relação ao número de soluções, usando o método da Eliminação de Gauss (trabalhe com três casas decimais):
a)
b)
a) Mostre que resolver , onde A é matriz e B são matrizes , é o mesmo que resolver m sistemas do tipo , onde A é matriz , vetores .
b) Usando o item (a), verifique que pode ser obtida através de resolução de n sistemas lineares.
c) Entre o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU, qual o mais indicado para o cálculo de ?
d) Aplique o método escolhido no item © para obter a inversa da matriz
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel, com no máximo 10 iterações:
e