Podemos encontrar a fatoração LU de A diretamente, usando simplesmente a definição de produto de matrizes. Esquemas deste tipo são conhecidos como esquemas compactos, e o equivalente à fatoração com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior é chamado de redução de Doolittle.
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
a) multiplique a primeira linha de L pela j -ésima coluna de U e iguale a . Verifique que desta forma obtém-se o elemento ;
b) repita o item (a), multiplicando agora a i-ésima linha de L pela primeira coluna de U , e igualando a será possível obter ;
c) use o mesmo raciocínio de (a) e (b) para deduzir que, se as ( ) primeiras linhas de U e colunas de L já foram determinadas, então
e
d) explique por que, se A é não singular, então também o será, donde ,
e) escreva um algoritmo para a fatoração LU de A usando a redução de Doolittle;
f) teste seu algoritmo, fatorando A e entāo resolvendo o sistema abaixo, sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a fatoração LU de uma matriz usando o método de Doolittle. A fatoração LU é quando a gente decompõe a matriz em duas matrizes: (triangular inferior com diagonal 1) e (triangular superior). Isso é útil para resolver sistemas lineares de forma mais fácil. Para resolver os itens a) até f), vamos precisar entender como multiplicar linhas e colunas de matrizes, além de aplicar fórmulas específicas para encontrar os elementos de e .
Passo 2
Item a)
Vamos começar multiplicando a primeira linha de pela -ésima coluna de e igualando ao elemento da matriz . Como tem 1 na diagonal, a primeira linha de é . A multiplicação fica simples:
Ou seja, os elementos da primeira linha de são iguais aos da primeira linha de .
Passo 3
Item b)
Agora, vamos multiplicar a -ésima linha de pela primeira coluna de e igualar ao elemento . Como tem a primeira coluna com e zeros abaixo na primeira coluna de :
Isso nos dá os elementos da primeira coluna de .
Passo 4
Item c)
Para o próximo passo, vamos supor que já determinamos as primeiras linhas de e as primeiras colunas de . Agora, para encontrar , usamos:
E para encontrar :
Isso significa que a gente ajusta os elementos de e subtraindo as contribuições já conhecidas das linhas e colunas anteriores.
Passo 5
Item d)
Se a matriz é não singular, isso quer dizer que ela tem inversa, ou seja, . Na fatoração LU, temos . Como tem 1 na diagonal, , então . Isso significa que os elementos da diagonal de , , também não são zero para todo .
Passo 6
Item e)
Vamos escrever um algoritmo para a fatoração LU usando a redução de Doolittle:
Inicialização: Defina como uma matriz identidade e como uma matriz zero.
Para cada coluna de 1 a :
Calcular para até :
Calcular para até :
Finalizar: Após preencher todas as entradas de e , a fatoração está completa.
Passo 7
Item f)
Vamos testar o algoritmo com a matriz e o vetor dados: