Analise os sistemas lineares abaixo com relação ao número de soluções, usando o método de Eliminação de Gauss (trabalhe com três casas decimais):
(a)
& 3 x1-2 x2+5 x3+x4=7 &-6 x1+4 x2-8 x3+x4=-9 & 9 x1-6 x2+19 x3+x4= 23 & 6 x1-4 x2-6 x3+15 x4= 11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o Método de Eliminação de Gauss. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas soluções o sistema possui, seja uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos manipular as equações para simplificar e chegar a uma forma mais fácil de analisar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada para facilitar as operações:
3 & -2 & 5 & 1 & | & 7 -6 & 4 & -8 & 1 & | & -9 9 & -6 & 19 & 1 & | & 23 6 & -4 & -6 & 15 & | & 11
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e as colunas representam os coeficientes das variáveis e o termo constante.

Passo 3

Vamos começar a eliminar os termos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna ( 1 & -23 & 53 & 13 & | & 73 -6 & 4 & -8 & 1 & | & -9 9 & -6 & 19 & 1 & | & 23 6 & -4 & -6 & 15 & | & 11 ). Nosso objetivo é ter zeros abaixo desse elemento para facilitar a resolução.
Primeiro, precisamos que o coeficiente seja 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 3:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os coeficientes abaixo de 0 0 -6 3 | -5 . Para isso:
  • Multiplicamos a primeira linha por 6 e somamos com a segunda linha:
    0 0 14 0 | 0 :
    0 0 -16 14 | -3
  • Fazemos o mesmo com a terceira e quarta linhas:
    1 & -23 & 53 & 13 & | & 73 0 & 0 & -6 & 3 & | & -5 0 & 0 & 14 & 0 & | & 0 0 & 0 & -16 & 14 & | & -3 , mas vamos ajustar corretamente:
    Para a terceira linha:
    Para a quarta linha:
Aplicando essas operações:
Nova segunda linha:
Nova terceira linha:
Nova quarta linha:
A matriz fica assim:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha dividindo por -6:
0 0 1 -12 | 56
Agora, nosso sistema está assim:
1 & -23 & 53 & 13 & | & 73 0 & 0 & 1 & -12 & | & 56 0 & 0 & 14 & 0 & | & 0 0 & 0 & -16 & 14 & | & -3

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar os termos 1 & -23 & 53 & 13 & | & 73 0 & 0 & 1 & -12 & | & 56 0 & 0 & 0 & 72 & | & -356 0 & 0 & 0 & 6 & | & 2 nas demais linhas.
Para a terceira linha:
:
Para a quarta linha:
:
Após as operações, temos:

Passo 7

Vamos agora simplificar a terceira linha dividindo por 0 0 0 1 | -53 :
0 0 0 1 | 13
E a quarta linha dividindo por 6:
Observamos que as duas últimas linhas resultaram em:

Passo 8

Aqui, chegamos a um ponto crítico: temos duas equações que afirmam valores diferentes para . Isso significa que não há nenhum valor que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, o sistema não possui solução.

Resposta

O sistema não possui soluções, ou seja, é impossível encontrar valores para que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

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