(a)
& 3 x1-2 x2+5 x3+x4=7 &-6 x1+4 x2-8 x3+x4=-9 & 9 x1-6 x2+19 x3+x4= 23 & 6 x1-4 x2-6 x3+15 x4= 11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você enviou. Estamos lidando com um sistema de equações lineares com quatro variáveis: e . Para resolver isso, vamos precisar usar a eliminação de Gauss, uma técnica que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de forma organizada:
3x1 - 2x2 + 5x3 + x4 = 7 (Equação 1) -6x1 + 4x2 - 8x3 + x4 = -9 (Equação 2) 9x1 - 6x2 + 19x3 + x4 = 23 (Equação 3) 6x1 - 4x2 - 6x3 + 15x4 = 11 (Equação 4) çãçãçãçã

Passo 3

Vamos começar eliminando 2 times (3x1 - 2x2 + 5x3 + x4) = 2 times 7 das Equações 2, 3 e 4 usando a Equação 1. Isso facilita a redução do sistema.
  • Para eliminar 6x1 - 4x2 + 10x3 + 2x4 = 14 (Equação 1 modificada) da Equação 2:
Multiplicamos a Equação 1 por 2:
( -6x1 + 4x2 - 8x3 + x4) + (6x1 - 4x2 + 10x3 + 2x4) = -9 + 14
0x1 + 0x2 + 2x3 + 3x4 = 5 (Nova Equação 2) çã
Agora, somamos com a Equação 2:
çã

Passo 4

  • Para eliminar 3 times (3x1 - 2x2 + 5x3 + x4) = 3 times 7 da Equação 3:
Multiplicamos a Equação 1 por 3:
9x1 - 6x2 + 15x3 + 3x4 = 21 (Equação 1 modificada)
(9x1 - 6x2 + 19x3 + x4) - (9x1 - 6x2 + 15x3 + 3x4) = 23 - 21 çã
Agora, subtraímos essa da Equação 3:
0x1 + 0x2 + 4x3 - 2x4 = 2 (Nova Equação 3)
çã

Passo 5

  • Para eliminar 2 times (3x1 - 2x2 + 5x3 + x4) = 2 times 7 da Equação 4:
Multiplicamos a Equação 1 por 2:
6x1 - 4x2 + 10x3 + 2x4 = 14 (Equação 1 modificada)
(6x1 - 4x2 - 6x3 + 15x4) - (6x1 - 4x2 + 10x3 + 2x4) = 11 - 14 çã
Agora, subtraímos essa da Equação 4:
0x1 + 0x2 - 16x3 + 13x4 = -3 (Nova Equação 4)
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema menor com três equações:
2x3 + 3x4 = 5 (Nova Equação 2) 4x3 - 2x4 = 2 (Nova Equação 3) -16x3 + 13x4 = -3 (Nova Equação 4) çãçãçã
Vamos resolver essas para encontrar e .

Passo 7

Primeiro, vamos resolver a Nova Equação 2 para 2x3 + 3x4 = 5 :
2x3 = 5 - 3x4
x3 = 5 - 3x42 (Expressão para x3 )
ã

Passo 8

Agora, substituímos a expressão de 4(5 - 3x42) - 2x4 = 2 na Nova Equação 3:
2(5 - 3x4) - 2x4 = 2
10 - 6x4 - 2x4 = 2
10 - 8x4 = 2
-8x4 = 2 - 10
-8x4 = -8
x4 = 1

Passo 9

Com x3 = 5 - 3(1)2 , voltamos à expressão de x3 = 5 - 32 :
x3 = 22
x3 = 1

Passo 10

Agora que temos 2x3 + 3x4 = 5 e 2(1) + 3(1) = 5 , podemos encontrar 2 + 3 = 5 usando a Nova Equação 2:
Essa equação confirma nossos valores.

Passo 11

Por fim, voltamos à Equação 1 original para encontrar 3x1 - 2x2 + 5x3 + x4 = 7 e 3x1 - 2x2 + 5(1) + 1 = 7 :
3x1 - 2x2 + 5 + 1 = 7
Substituindo 3x1 - 2x2 = 7 - 6 e 3x1 - 2x2 = 1 (Equação 5) :
çã

Passo 12

Vamos usar a Nova Equação 4 para encontrar -16x3 + 13x4 = -3 :
-16(1) + 13(1) = -3
Substituindo -16 + 13 = -3 e -3 = -3 :
-6x1 + 4x2 - 8x3 + x4 = -9
-6x1 + 4x2 - 8(1) + 1 = -9
-6x1 + 4x2 - 8 + 1 = -9
Essa equação confirma nossos valores anteriores, mas não nos ajuda diretamente a encontrar -6x1 + 4x2 - 7 = -9 . Portanto, precisamos de outra equação.
Vamos usar a Equação 2 original:
-6x1 + 4x2 = -2 (Equação 6)
Substituindo e :
çã

Passo 13

Agora temos duas equações com 3x1 - 2x2 = 1 (Equação 5) -6x1 + 4x2 = -2 (Equação 6) e 2 times (3x1 - 2x2) = 2 times 1 :
6x1 - 4x2 = 2 (Equação 5 modificada) çãçã
Vamos multiplicar a Equação 5 por 2 para facilitar a eliminação:
(6x1 - 4x2) + (-6x1 + 4x2) = 2 + (-2)
0x1 + 0x2 = 0 çã
Agora, somamos com a Equação 6:
Isso significa que as equações são dependentes e não nos dão informação adicional. Portanto, retornamos à Equação 3 já resolvida e confirmamos que pode ser qualquer valor que satisfaça as equações anteriores.

Passo 14

Vamos escolher 3(1) - 2x2 = 1 para facilitar:
Substituindo em Equação 5:
3 - 2x2 = 1
-2x2 = 1 - 3
-2x2 = -2
x2 = 1

Resposta

Os valores das variáveis são:
x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1 x4 = 1

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