Considere o sistema linear
(ccc 4 & -1 & 2 2 & 0 & 1 -1 & 1 & w ) x=(l 2 5 r )
(a) Aplique o método da Eliminação de Gauss, sem pivoteamento parcial, deixando os valores em função de w e r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que a gente tem aqui usando o método da Eliminação de Gauss. Esse método é tipo um jeito sistemático de manipular as equações pra gente conseguir achar os valores das incógnitas. A gente vai trabalhar com matrizes e transformar essa matriz inicial em uma forma mais simples, onde fica fácil encontrar as soluções para , e , tudo isso deixando as respostas em função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos independentes:
[ccc|c 4 & -1 & 2 & 2 2 & 0 & 1 & 5 -1 & 1 & w & r ]

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal temos zeros. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas.
Primeiro, vamos eliminar o primeiro elemento da segunda e terceira linhas, ou seja, queremos que na segunda e terceira linhas, a primeira coluna seja zero.

Passo 4

Para eliminar o 2 da segunda linha, podemos multiplicar a primeira linha por Linha 2 = Linha 2 - 12 times Linha 1 e subtrair da segunda linha:
2 - 12 times 4 = 0
Calculando:
0 - 12 times (-1) = 0 + 12 = 12
1 - 12 times 2 = 1 - 1 = 0
5 - 12 times 2 = 5 - 1 = 4
[ccc|c 4 & -1 & 2 & 2 0 & 12 & 0 & 4 -1 & 1 & w & r ]
Então, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o -1 da terceira linha. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por Linha 3 = Linha 3 + -14 times Linha 1 e somar à terceira linha:
-1 + -14 times 4 = -1 -1 = -2
Calculando:
1 + -14 times (-1) = 1 + 14 = 54
w + -14 times 2 = w - 12 = w - 0.5
r + -14 times 2 = r - 12 = r - 0.5
[ccc|c 4 & -1 & 2 & 2 0 & 12 & 0 & 4 -2 & 54 & w - 0.5 & r - 0.5 ]
Então, a matriz fica:

Passo 6

Vamos simplificar a terceira linha para facilitar. Observamos que podemos dividir a terceira linha por -2 para tornar o primeiro elemento igual a 1:
Linha 3 = 1-2 times Linha 3
Calculando:
-2 times 1-2 = 1
54 times 1-2 = -58
(w - 0.5) times 1-2 = -w2 + 0.25
(r - 0.5) times 1-2 = -r2 + 0.25
Então, a matriz fica:
[ccc|c 4 & -1 & 2 & 2 0 & 12 & 0 & 4 1 & -58 & -w2 + 0.25 & -r2 + 0.25 ]

Passo 7

Agora, vamos eliminar o 1 da terceira linha na primeira coluna. Para isso, multiplicamos a terceira linha por 4 e subtraímos da primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 - 4 times Linha 3
Calculando:
4 - 4 times 1 = 0
-1 - 4 times (-58) = -1 + 208 = -1 + 2.5 = 1.5
2 - 4 times (-w2 + 0.25) = 2 + 2w - 1 = 2w +1
2 - 4 times (-r2 + 0.25) = 2 + 2r -1 = 2r +1
Então, a matriz fica:
[ccc|c 0 & 1.5 & 2w +1 & 2r +1 0 & 12 & 0 & 4 1 & -58 & -w2 + 0.25 & -r2 + 0.25 ]

Passo 8

Vamos agora simplificar a segunda linha multiplicando por 2 para facilitar os cálculos:
Linha 2 = 2 times Linha 2
Calculando:
0 times 2 = 0
12 times 2 = 1
0 times 2 = 0
4 times 2 = 8
Então, a matriz fica:
[ccc|c 0 & 1.5 & 2w +1 & 2r +1 0 & 1 & 0 & 8 1 & -58 & -w2 + 0.25 & -r2 + 0.25 ]

Passo 9

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 + 58 times Linha 2 da terceira linha na segunda coluna. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 + 0 = 1 e somamos à terceira linha:
-58 + 58 times 1 = -58 + 58 = 0
Calculando:
-w2 + 0.25 + 58 times 0 = -w2 + 0.25
-r2 + 0.25 + 58 times 8 = -r2 + 0.25 + 5 = -r2 + 5.25
[ccc|c 0 & 1.5 & 2w +1 & 2r +1 0 & 1 & 0 & 8 1 & 0 & -w2 + 0.25 & -r2 + 5.25 ]
Então, a matriz fica:

Passo 10

Agora, temos uma matriz triangular superior. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
1x + 0y + (-w2 + 0.25)z = -r2 + 5.25
Ou seja,
x + (-w2 + 0.25)z = -r2 + 5.25

Passo 11

Da segunda linha:
0x + 1y + 0z = 8
Isso nos diz diretamente que:
y = 8

Passo 12

Da primeira linha:
0x + 1.5y + (2w +1)z = 2r +1
Substituindo 1.5 times 8 + (2w +1)z = 2r +1 :
12 + (2w +1)z = 2r +1
(2w +1)z = 2r +1 -12
(2w +1)z = 2r -11
z = 2r -112w +1
Então,

Passo 13

Agora, substituímos o valor de x + (-w2 + 0.25)(2r -112w +1) = -r2 + 5.25 na equação da terceira linha para encontrar x = -r2 + 5.25 - (-w2 + 0.25)(2r -112w +1) :
Vamos simplificar:

Resposta

As soluções do sistema, em função de y = 8 e z = 2r -112w +1 , são:
x = -r2 + 5.25 + (w2 - 0.25)(2r -112w +1)

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