(a) Aplique o método da Eliminação de Gauss, sem pivoteamento parcial, deixando os valores em função de e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que a gente tem aqui usando o método da Eliminação de Gauss. Esse método é tipo um jeito sistemático de manipular as equações pra gente conseguir achar os valores das incógnitas. A gente vai trabalhar com matrizes e transformar essa matriz inicial em uma forma mais simples, onde fica fácil encontrar as soluções para , e , tudo isso deixando as respostas em função de e .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos independentes:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal temos zeros. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas.
Primeiro, vamos eliminar o primeiro elemento da segunda e terceira linhas, ou seja, queremos que na segunda e terceira linhas, a primeira coluna seja zero.
Passo 4
Para eliminar o 2 da segunda linha, podemos multiplicar a primeira linha por e subtrair da segunda linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o -1 da terceira linha. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por e somar à terceira linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:
Passo 6
Vamos simplificar a terceira linha para facilitar. Observamos que podemos dividir a terceira linha por -2 para tornar o primeiro elemento igual a 1:
Calculando:
Então, a matriz fica:
Passo 7
Agora, vamos eliminar o 1 da terceira linha na primeira coluna. Para isso, multiplicamos a terceira linha por 4 e subtraímos da primeira linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:
Passo 8
Vamos agora simplificar a segunda linha multiplicando por 2 para facilitar os cálculos:
Calculando:
Então, a matriz fica:
Passo 9
Agora, vamos eliminar o da terceira linha na segunda coluna. Para isso, multiplicamos a segunda linha por e somamos à terceira linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:
Passo 10
Agora, temos uma matriz triangular superior. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
Ou seja,
Passo 11
Da segunda linha:
Isso nos diz diretamente que:
Passo 12
Da primeira linha:
Substituindo :
Então,
Passo 13
Agora, substituímos o valor de na equação da terceira linha para encontrar :