(a) Aplique o método da Eliminação de Gauss, sem pivoteamento parcial, deixando os valores em função de w e r.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que a gente tem aqui usando o método da Eliminação de Gauss. Esse método é tipo um jeito sistemático de manipular as equações pra gente conseguir achar os valores das incógnitas. A gente vai trabalhar com matrizes e transformar essa matriz inicial em uma forma mais simples, onde fica fácil encontrar as soluções para , e , tudo isso deixando as respostas em função de e .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos independentes:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal temos zeros. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas.
Primeiro, vamos eliminar o primeiro elemento da segunda e terceira linhas, ou seja, queremos que na segunda e terceira linhas, a primeira coluna seja zero.
Passo 4
Para eliminar o 2 da segunda linha, podemos multiplicar a primeira linha por Linha 2 = Linha 2 - 12 times Linha 1 e subtrair da segunda linha:
Agora, vamos eliminar o -1 da terceira linha. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por Linha 3 = Linha 3 + -14 times Linha 1 e somar à terceira linha:
Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 + 58 times Linha 2 da terceira linha na segunda coluna. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 + 0 = 1 e somamos à terceira linha:
Agora, temos uma matriz triangular superior. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
1x + 0y + (-w2 + 0.25)z = -r2 + 5.25
Ou seja,
x + (-w2 + 0.25)z = -r2 + 5.25
Passo 11
Da segunda linha:
0x + 1y + 0z = 8
Isso nos diz diretamente que:
y = 8
Passo 12
Da primeira linha:
0x + 1.5y + (2w +1)z = 2r +1
Substituindo 1.5 times 8 + (2w +1)z = 2r +1 :
12 + (2w +1)z = 2r +1
(2w +1)z = 2r +1 -12
(2w +1)z = 2r -11
z = 2r -112w +1
Então,
Passo 13
Agora, substituímos o valor de x + (-w2 + 0.25)(2r -112w +1) = -r2 + 5.25 na equação da terceira linha para encontrar x = -r2 + 5.25 - (-w2 + 0.25)(2r -112w +1) :
Vamos simplificar:
Resposta
As soluções do sistema, em função de y = 8 e z = 2r -112w +1 , são: