Considere o sistema linear
(a) Aplique o método da Eliminação de Gauss, sem pivoteamento parcial, deixando os valores em função de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que a gente tem aqui usando o método da Eliminação de Gauss. Esse método é tipo um jeito sistemático de manipular as equações pra gente conseguir achar os valores das incógnitas. A gente vai trabalhar com matrizes e transformar essa matriz inicial em uma forma mais simples, onde fica fácil encontrar as soluções para , e , tudo isso deixando as respostas em função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos independentes:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal temos zeros. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas.
Primeiro, vamos eliminar o primeiro elemento da segunda e terceira linhas, ou seja, queremos que na segunda e terceira linhas, a primeira coluna seja zero.

Passo 4

Para eliminar o 2 da segunda linha, podemos multiplicar a primeira linha por e subtrair da segunda linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o -1 da terceira linha. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por e somar à terceira linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 6

Vamos simplificar a terceira linha para facilitar. Observamos que podemos dividir a terceira linha por -2 para tornar o primeiro elemento igual a 1:
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos eliminar o 1 da terceira linha na primeira coluna. Para isso, multiplicamos a terceira linha por 4 e subtraímos da primeira linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 8

Vamos agora simplificar a segunda linha multiplicando por 2 para facilitar os cálculos:
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 9

Agora, vamos eliminar o da terceira linha na segunda coluna. Para isso, multiplicamos a segunda linha por e somamos à terceira linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 10

Agora, temos uma matriz triangular superior. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
Ou seja,

Passo 11

Da segunda linha:
Isso nos diz diretamente que:

Passo 12

Da primeira linha:
Substituindo :
Então,

Passo 13

Agora, substituímos o valor de na equação da terceira linha para encontrar :
Vamos simplificar:

Resposta

As soluções do sistema, em função de e , são:

Exercícios relacionados

A decomposição de uma matriz é dada por
(a) Utilizando a decomposição acima, resolva o sistema linear , com .
Analise os sistemas lineares abaixo com relação ao número de soluções, usando o método de Eliminação de Gauss (trabalhe com três casas decimais):
(a)
Considere
Pede-se:
(a) encontre o conjunto solução da equação ;