Investigar as integrais impróprias.
(a) integral0^1 1raiz1-x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral imprópria . Essa questão está ligada ao cálculo de integrais, especificamente as integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com limites onde a função pode se tornar infinita ou ter descontinuidades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é considerada imprópria. Olhando para a função , percebemos que quando se aproxima de 1, o denominador tende a zero, fazendo com que a função se aproxime do infinito. Isso significa que o ponto é uma descontinuidade onde a função não está definida de forma finita.

Passo 3

Para resolver a integral imprópria, vamos transformá-la em um limite. Em vez de integrar até 1 diretamente, vamos integrar até um valor integral0^1 1raiz1-x dx = limb to 1^- integral0^b 1raiz1-x dx que se aproxima de 1 e depois calcular o limite quando tende a 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral 1raizu cdot (-du) = -2raizu + C = -2raiz1 - x + C . Para isso, fazemos uma substituição simples: deixe , então ou . Substituindo na integral:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a integral0^b 1raiz1-x dx = [ -2raiz1 - x ]0^b = -2raiz1 - b + 2raiz1 - 0 = 2 - 2raiz1 - b :

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando limb to 1^- (2 - 2raiz1 - b) = 2 - 0 = 2 se aproxima de 1:

Resposta

O valor da integral é igual a 2.

Exercícios relacionados