A decomposição P A=L U de uma matriz 3 times 3 é dada por
P=[lll 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 ], L=[ccc 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 ] e U=[ccc 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 0 & 0 & 3 ]
(a) Utilizando a decomposição acima, resolva o sistema linear A x=b, com b=[c1 2 -1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me mandou é um exercício de álgebra linear onde precisamos resolver um sistema linear usando a decomposição . Aqui, , e são matrizes que já foram determinadas para essa decomposição. Para resolver o sistema, vamos precisar entender como usar essa decomposição para simplificar a resolução do sistema, e isso envolve conceitos de fatoração de matrizes e solução de sistemas triangulares.

Passo 2

Primeiro, temos que entender que . Isso significa que a matriz foi decomposta em três matrizes: uma permutação , uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . A ideia aqui é usar essa fatoração para resolver o sistema mais facilmente.

Passo 3

Nosso objetivo é resolver A x = b implies P A x = P b implies L U x = P b . Como temos , podemos reescrever o sistema da seguinte forma:
Aqui, multiplicamos ambos os lados da equação por para usar a fatoração fornecida.

Passo 4

Agora, vamos resolver em duas etapas. Primeiro, vamos resolver para encontrar , e depois resolver para encontrar .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular P = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 . A matriz b = 1 2 -1 é:
P b = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 1 2 -1 = 2 -1 1
E o vetor é:
Multiplicando por :

[
P b =


]

Passo 6

Agora, temos que resolver L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 . A matriz 2 -1 1 é:
1 cdot y1 + 0 cdot y2 + 0 cdot y3 = 2 2 cdot y1 + 1 cdot y2 + 0 cdot y3 = -1 -1 cdot y1 + 0 cdot y2 + 1 cdot y3 = 1
E . Então, nosso sistema fica:

Passo 7

Resolvendo o sistema 2 -5 3 :
  1. Da primeira equação: .
  2. Da segunda equação: .
  3. Da terceira equação: .
Então, .

Passo 8

Agora que temos U = 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 0 & 0 & 3 , vamos resolver 2 -5 3 . A matriz 2 x1 + 3 x2 - x3 = 2 0 x1 - 2 x2 + x3 = -5 0 x1 + 0 x2 + 3 x3 = 3 é:
E . Nosso sistema fica:

Passo 9

Resolvendo o sistema de baixo para cima:
  1. Da terceira equação: .
  2. Da segunda equação: .
  3. Da primeira equação: .

Resposta

A solução do sistema x = -3 3 1 é:

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