Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais):
a) c3 x1-2 x2+5 x3+x4=7 -6 x1+4 x2-8 x3+x4=1 9 x1-6 x2+19 x3+x4=4 6 x1-4 x2-6 x3+15 x4=12

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis ( , , , ) e quatro equações. Nosso objetivo é descobrir quantas soluções esse sistema tem usando o método de eliminação de Gauss. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações para simplificar e identificar se há uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais organizada usando uma matriz aumentada, que é uma maneira prática de visualizar as equações:
3 & -2 & 5 & 1 & | & 7 -6 & 4 & -8 & 1 & | & 1 9 & -6 & 19 & 1 & | & 4 6 & -4 & -6 & 15 & | & 12
Aqui, cada linha representa uma equação e as colunas representam os coeficientes das variáveis, com a última coluna sendo os termos constantes.

Passo 3

Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda, terceira e quarta linhas para que fiquem zeros na coluna de 3 & -2 & 5 & 1 & | & 7 0 & 0 & 2 & 3 & | & 15 0 & 0 & 4 & -2 & | & -17 0 & 0 & -16 & 13 & | & -2 . Para isso, usamos operações de linha:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Aplicando essas operações:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Observamos que os coeficientes de 3 & -2 & 5 & 1 & | & 7 0 & 0 & 2 & 3 & | & 15 0 & 0 & 1 & -0.5 & | & -4.25 0 & 0 & -16 & 13 & | & -2 nas linhas 2, 3 e 4 são zeros. Isso indica que não influencia diretamente essas equações depois da eliminação inicial. Seguiremos eliminando os coeficientes abaixo da segunda linha.
Vamos trabalhar com a terceira linha para tornar o coeficiente de igual a 1. Dividimos a terceira linha por 4:

Passo 5

Em seguida, vamos eliminar o coeficiente de 3 & -2 & 5 & 1 & | & 7 0 & 0 & 0 & 4 & | & 23.5 0 & 0 & 1 & -0.5 & | & -4.25 0 & 0 & 0 & 5 & | & -72 na segunda e quarta linhas usando a terceira linha:
  • Linha 2:
  • Linha 4:
Após essas operações:

Passo 6

Agora, observamos que a quarta linha resulta em uma equação x4 = -725 = -14.4 , o que simplifica para . Resolvendo para :

Passo 7

Usando o valor de x3 - 0.5x4 = -4.25 x3 - 0.5(-14.4) = -4.25 x3 + 7.2 = -4.25 x3 = -4.25 - 7.2 x3 = -11.45 encontrado, vamos substituir de volta na terceira linha para encontrar :

Passo 8

Agora, voltamos à primeira linha para encontrar 3x1 - 2x2 + 5x3 + x4 = 7 3x1 - 2x2 + 5(-11.45) + (-14.4) = 7 3x1 - 2x2 - 57.25 - 14.4 = 7 3x1 - 2x2 = 7 + 57.25 + 14.4 3x1 - 2x2 = 78.65 3x1 = 78.65 + 2x2 x1 = 78.65 + 2x23 x1 = 26.217 + 23x2 e . Como não apareceu nas etapas anteriores, assumiremos que ele pode assumir qualquer valor (livre). Vamos expressar em função de :

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, onde x1 = 26.217 + 23x2 x2 é livre x3 = -11.45 x4 = -14.4 é um parâmetro livre. As soluções podem ser expressas da seguinte forma:
é

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