Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais):
a)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis ( , , , ) e quatro equações. Nosso objetivo é descobrir quantas soluções esse sistema tem usando o método de eliminação de Gauss. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações para simplificar e identificar se há uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais organizada usando uma matriz aumentada, que é uma maneira prática de visualizar as equações:
Aqui, cada linha representa uma equação e as colunas representam os coeficientes das variáveis, com a última coluna sendo os termos constantes.

Passo 3

Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda, terceira e quarta linhas para que fiquem zeros na coluna de . Para isso, usamos operações de linha:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Aplicando essas operações:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Observamos que os coeficientes de nas linhas 2, 3 e 4 são zeros. Isso indica que não influencia diretamente essas equações depois da eliminação inicial. Seguiremos eliminando os coeficientes abaixo da segunda linha.
Vamos trabalhar com a terceira linha para tornar o coeficiente de igual a 1. Dividimos a terceira linha por 4:

Passo 5

Em seguida, vamos eliminar o coeficiente de na segunda e quarta linhas usando a terceira linha:
  • Linha 2:
  • Linha 4:
Após essas operações:

Passo 6

Agora, observamos que a quarta linha resulta em uma equação , o que simplifica para . Resolvendo para :

Passo 7

Usando o valor de encontrado, vamos substituir de volta na terceira linha para encontrar :

Passo 8

Agora, voltamos à primeira linha para encontrar e . Como não apareceu nas etapas anteriores, assumiremos que ele pode assumir qualquer valor (livre). Vamos expressar em função de :

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, onde é um parâmetro livre. As soluções podem ser expressas da seguinte forma:
é

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Suponha que a matriz simétrica de dimensão possui uma única decomposição , sendo uma matriz diagonal, uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior tais que
(b) Se os elementos da matriz diagonal são todos positivos, mostre que possui uma fatoração da forma , sendo uma matriz triangular inferior (tal decomposição é chamada de decomposição de Cholesky).
Pede-se:
(a) encontre o conjunto solução da equação ;
(b) utilizando o maior valor de encontrado no item anterior, encontre o valor de para que o sistema linear tenha infinitas soluções. (Use o processo da eliminação de Gauss).
Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais):
Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais):