Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais):
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis (, , , ) e quatro equações. Nosso objetivo é descobrir quantas soluções esse sistema tem usando o método de eliminação de Gauss. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações para simplificar e identificar se há uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais organizada usando uma matriz aumentada, que é uma maneira prática de visualizar as equações:
Aqui, cada linha representa uma equação e as colunas representam os coeficientes das variáveis, com a última coluna sendo os termos constantes.
Passo 3
Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda, terceira e quarta linhas para que fiquem zeros na coluna de . Para isso, usamos operações de linha:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
Aplicando essas operações:
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda coluna. Observamos que os coeficientes de nas linhas 2, 3 e 4 são zeros. Isso indica que não influencia diretamente essas equações depois da eliminação inicial. Seguiremos eliminando os coeficientes abaixo da segunda linha.
Vamos trabalhar com a terceira linha para tornar o coeficiente de igual a 1. Dividimos a terceira linha por 4:
Passo 5
Em seguida, vamos eliminar o coeficiente de na segunda e quarta linhas usando a terceira linha:
Linha 2:
Linha 4:
Após essas operações:
Passo 6
Agora, observamos que a quarta linha resulta em uma equação , o que simplifica para . Resolvendo para :
Passo 7
Usando o valor de encontrado, vamos substituir de volta na terceira linha para encontrar :
Passo 8
Agora, voltamos à primeira linha para encontrar e . Como não apareceu nas etapas anteriores, assumiremos que ele pode assumir qualquer valor (livre). Vamos expressar em função de :
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, onde é um parâmetro livre. As soluções podem ser expressas da seguinte forma: