Pede-se:
(a) encontre o conjunto solução da equação ;
(b) utilizando o maior valor de encontrado no item anterior, encontre o valor de para que o sistema linear tenha infinitas soluções. (Use o processo da eliminação de Gauss).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema envolve encontrar quando o determinante da matriz é zero e, depois, usar esse valor de para descobrir o valor de que faz o sistema linear ter infinitas soluções. Isso envolve conceitos de determinantes e sistemas lineares, além de usar a eliminação de Gauss para simplificar o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . A matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão do determinante passo a passo:
Passo 4
Agora, queremos encontrar os valores de que fazem o determinante ser zero:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Então, temos duas soluções:
Passo 5
O conjunto solução para é e .
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte. Pegaremos o maior valor de encontrado, que é , e vamos encontrar o valor de para que o sistema tenha infinitas soluções. Para isso, usamos o método da eliminação de Gauss.
Primeiro, substituímos na matriz :
Passo 7
Aplicando a eliminação de Gauss:
A primeira linha já está zerada.
Subtraia a segunda linha da terceira linha para eliminar o elemento abaixo do pivot na segunda coluna:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, o último elemento da terceira linha deve ser zero após as operações, ou seja:
Mas para ter infinitas soluções, precisamos que a última linha seja redundante, ou seja, que . Isso acontece se , o que não é possível. Portanto, não há valor de que satisfaça essa condição quando .
Mas talvez tenhamos feito um erro. Vamos revisar:
Ao substituir , a primeira linha de se torna todos zeros, e o primeiro elemento de é . Para ter infinitas soluções, a equação correspondente deve ser . Portanto, para o sistema ser consistente e ter infinitas soluções, precisamos que .
Resposta
(a) O conjunto solução para é e .
(b) Utilizando o maior valor de , o valor de que faz o sistema ter infinitas soluções é .