A=(ccc x-1 & x-1 & x-1 x-1 & 1 & 2 x-1 & 1 & -2 ) e b=(c m 3 5 )
Pede-se:
(a) encontre o conjunto solução da equação det(A)=0;
(b) utilizando o maior valor de x encontrado no item anterior, encontre o valor de m para que o sistema linear A x=b tenha infinitas soluções. (Use o processo da eliminação de Gauss).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema envolve encontrar quando o determinante da matriz é zero e, depois, usar esse valor de para descobrir o valor de que faz o sistema linear ter infinitas soluções. Isso envolve conceitos de determinantes e sistemas lineares, além de usar a eliminação de Gauss para simplificar o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = x-1 & x-1 & x-1 x-1 & 1 & 2 x-1 & 1 & -2 . A matriz det(A) = (x-1)(1)(-2) + (x-1)(2)(x-1) + (x-1)(x-1)(1) - [(x-1)(1)(x-1) + (x-1)(2)(-2) + (x-1)(1)(1)] é:
Para calcular o determinante de uma matriz , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão do determinante passo a passo:
det(A) &= (x-1)(1)(-2) + (x-1)(2)(x-1) + (x-1)(x-1)(1) & - [ (x-1)(1)(x-1) + (x-1)(2)(-2) + (x-1)(1)(1) ] &= -2(x-1) + 2(x-1)^2 + (x-1)^2 - [ (x-1)^2 - 4(x-1) + (x-1) ] &= -2(x-1) + 2(x-1)^2 + (x-1)^2 - (x-1)^2 + 4(x-1) - (x-1) &= -2(x-1) + 2(x-1)^2 + (x-1)^2 - (x-1)^2 + 4(x-1) - (x-1) &= (-2 + 4 -1)(x-1) + (2)(x-1)^2 &= (1)(x-1) + 2(x-1)^2 &= (x - 1) + 2(x^2 - 2x + 1) &= x - 1 + 2x^2 - 4x + 2 &= 2x^2 - 3x + 1

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de 2x^2 - 3x + 1 = 0 que fazem o determinante ser zero:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = 3 pm raiz9 - 84 = 3 pm 14
Onde x = 44 = 1 e x = 24 = 0.5 , , e .
Então, temos duas soluções:

Passo 5

O conjunto solução para é e .

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte. Pegaremos o maior valor de A = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 0 & 1 & -2 , b = m 3 5 encontrado, que é , e vamos encontrar o valor de para que o sistema tenha infinitas soluções. Para isso, usamos o método da eliminação de Gauss.
Primeiro, substituímos na matriz :

Passo 7

Aplicando a eliminação de Gauss:
  1. A primeira linha já está zerada.
  2. Subtraia a segunda linha da terceira linha para eliminar o elemento abaixo do pivot na segunda coluna:
0 & 0 & 0 & | & m 0 & 1 & 2 & | & 3 0 & 0 & -4 & | & 2
Para que o sistema tenha infinitas soluções, o último elemento da terceira linha deve ser zero após as operações, ou seja:
-4z = 2 implies z = -0.5
Mas para ter infinitas soluções, precisamos que a última linha seja redundante, ou seja, que . Isso acontece se , o que não é possível. Portanto, não há valor de que satisfaça essa condição quando .
Mas talvez tenhamos feito um erro. Vamos revisar:
Ao substituir , a primeira linha de se torna todos zeros, e o primeiro elemento de é . Para ter infinitas soluções, a equação correspondente deve ser . Portanto, para o sistema ser consistente e ter infinitas soluções, precisamos que .

Resposta

(a) O conjunto solução para é e .
(b) Utilizando o maior valor de , o valor de que faz o sistema ter infinitas soluções é .

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