Pede-se:
(a) encontre o conjunto solução da equação ;
(b) utilizando o maior valor de encontrado no item anterior, encontre o valor de para que o sistema linear tenha infinitas soluções. (Use o processo da eliminação de Gauss).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema envolve encontrar quando o determinante da matriz é zero e, depois, usar esse valor de para descobrir o valor de que faz o sistema linear ter infinitas soluções. Isso envolve conceitos de determinantes e sistemas lineares, além de usar a eliminação de Gauss para simplificar o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . A matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão do determinante passo a passo:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de que fazem o determinante ser zero:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Então, temos duas soluções:

Passo 5

O conjunto solução para é e .

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte. Pegaremos o maior valor de encontrado, que é , e vamos encontrar o valor de para que o sistema tenha infinitas soluções. Para isso, usamos o método da eliminação de Gauss.
Primeiro, substituímos na matriz :

Passo 7

Aplicando a eliminação de Gauss:
  1. A primeira linha já está zerada.
  2. Subtraia a segunda linha da terceira linha para eliminar o elemento abaixo do pivot na segunda coluna:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, o último elemento da terceira linha deve ser zero após as operações, ou seja:
Mas para ter infinitas soluções, precisamos que a última linha seja redundante, ou seja, que . Isso acontece se , o que não é possível. Portanto, não há valor de que satisfaça essa condição quando .
Mas talvez tenhamos feito um erro. Vamos revisar:
Ao substituir , a primeira linha de se torna todos zeros, e o primeiro elemento de é . Para ter infinitas soluções, a equação correspondente deve ser . Portanto, para o sistema ser consistente e ter infinitas soluções, precisamos que .

Resposta

(a) O conjunto solução para é e .
(b) Utilizando o maior valor de , o valor de que faz o sistema ter infinitas soluções é .

Exercícios relacionados

(a) Aplique o método da Eliminação de Gauss, sem pivoteamento parcial, deixando os valores em função de e .
(b) Para quais valores de e o sistema linear
  • admite infinitas soluções;
  • admite solução única;
  • não admite solução;
    Justifique.
Suponha que a matriz simétrica de dimensão possui uma única decomposição , sendo uma matriz diagonal, uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior tais que
(b) Se os elementos da matriz diagonal são todos positivos, mostre que possui uma fatoração da forma , sendo uma matriz triangular inferior (tal decomposição é chamada de decomposição de Cholesky).
Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais):
a)