Suponha que a matriz simétrica
de dimensão
possui uma única decomposição
, sendo
uma matriz diagonal,
uma matriz triangular inferior e
uma matriz triangular superior tais que
(b) Se os elementos da matriz diagonal
são todos positivos, mostre que
possui uma fatoração da forma
, sendo
uma matriz triangular inferior (tal decomposição é chamada de decomposição de Cholesky).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz simétrica
de dimensão
. Ela pode ser decomposta de forma única como
, onde
é uma matriz diagonal,
é uma matriz triangular inferior e
é uma matriz triangular superior, com os elementos das diagonais de
e
iguais a 1. O conteúdo que vamos trabalhar aqui é fatoração de matrizes, mais especificamente a decomposição de Cholesky. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender essas decomposições e como transformar a dada
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica
pode ser decomposta como
, onde
é a transposta de
porque
é simétrica. Então, podemos escrever
.
Passo 3
Agora, como os elementos da matriz diagonal
são todos positivos, podemos tirar a raiz quadrada de cada elemento da diagonal. Vamos definir uma nova matriz diagonal
onde cada elemento
é a raiz quadrada de
.
Passo 4
Vamos reescrever a matriz
usando
. Temos:
Passo 5
Agora, vamos agrupar
como uma nova matriz
:
Então, podemos escrever:
Passo 6
A matriz
é triangular inferior porque
é triangular inferior e
é diagonal (que também é triangular inferior). Portanto, conseguimos expressar
na forma
, que é a decomposição de Cholesky.
Resposta
A matriz
pode ser escrita como
, onde
é uma matriz triangular inferior. Essa é a decomposição de Cholesky.