Suponha que a matriz simétrica A de dimensão n times n possui uma única decomposição A= L times D times U, sendo D=(di, j) uma matriz diagonal, L=(elli, j) uma matriz triangular inferior e U=(ui, j) uma matriz triangular superior tais que
elli, i=ui, i=1, i=1,2, ldots, n
(b) Se os elementos da matriz diagonal D são todos positivos, mostre que A possui uma fatoração da forma A=K K^t, sendo K uma matriz triangular inferior (tal decomposição é chamada de decomposição de Cholesky).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz simétrica de dimensão . Ela pode ser decomposta de forma única como , onde é uma matriz diagonal, é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior, com os elementos das diagonais de e iguais a 1. O conteúdo que vamos trabalhar aqui é fatoração de matrizes, mais especificamente a decomposição de Cholesky. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender essas decomposições e como transformar a dada em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica pode ser decomposta como , onde é a transposta de porque é simétrica. Então, podemos escrever .

Passo 3

Agora, como os elementos da matriz diagonal são todos positivos, podemos tirar a raiz quadrada de cada elemento da diagonal. Vamos definir uma nova matriz diagonal onde cada elemento é a raiz quadrada de .

Passo 4

Vamos reescrever a matriz A = L times D times L^t = L times D^1/2 times D^1/2 times L^t usando . Temos:

Passo 5

Agora, vamos agrupar K = L times D^1/2 como uma nova matriz A = K times K^t :
Então, podemos escrever:

Passo 6

A matriz é triangular inferior porque é triangular inferior e é diagonal (que também é triangular inferior). Portanto, conseguimos expressar na forma , que é a decomposição de Cholesky.

Resposta

A matriz pode ser escrita como , onde é uma matriz triangular inferior. Essa é a decomposição de Cholesky.

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