Suponha que a matriz simétrica de dimensão possui uma única decomposição , sendo uma matriz diagonal, uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior tais que
(b) Se os elementos da matriz diagonal são todos positivos, mostre que possui uma fatoração da forma , sendo uma matriz triangular inferior (tal decomposição é chamada de decomposição de Cholesky).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz simétrica de dimensão . Ela pode ser decomposta de forma única como , onde é uma matriz diagonal, é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior, com os elementos das diagonais de e iguais a 1. O conteúdo que vamos trabalhar aqui é fatoração de matrizes, mais especificamente a decomposição de Cholesky. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender essas decomposições e como transformar a dada em .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica pode ser decomposta como , onde é a transposta de porque é simétrica. Então, podemos escrever .
Passo 3
Agora, como os elementos da matriz diagonal são todos positivos, podemos tirar a raiz quadrada de cada elemento da diagonal. Vamos definir uma nova matriz diagonal onde cada elemento é a raiz quadrada de .
Passo 4
Vamos reescrever a matriz usando . Temos:
Passo 5
Agora, vamos agrupar como uma nova matriz :
Então, podemos escrever:
Passo 6
A matriz é triangular inferior porque é triangular inferior e é diagonal (que também é triangular inferior). Portanto, conseguimos expressar na forma , que é a decomposição de Cholesky.
Resposta
A matriz pode ser escrita como , onde é uma matriz triangular inferior. Essa é a decomposição de Cholesky.