Suponha que a matriz simétrica de dimensão possui uma única decomposição , sendo uma matriz diagonal, uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior tais que
(b) Se os elementos da matriz diagonal são todos positivos, mostre que possui uma fatoração da forma , sendo uma matriz triangular inferior (tal decomposição é chamada de decomposição de Cholesky).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz simétrica de dimensão . Ela pode ser decomposta de forma única como , onde é uma matriz diagonal, é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior, com os elementos das diagonais de e iguais a 1. O conteúdo que vamos trabalhar aqui é fatoração de matrizes, mais especificamente a decomposição de Cholesky. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender essas decomposições e como transformar a dada em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica pode ser decomposta como , onde é a transposta de porque é simétrica. Então, podemos escrever .

Passo 3

Agora, como os elementos da matriz diagonal são todos positivos, podemos tirar a raiz quadrada de cada elemento da diagonal. Vamos definir uma nova matriz diagonal onde cada elemento é a raiz quadrada de .

Passo 4

Vamos reescrever a matriz usando . Temos:

Passo 5

Agora, vamos agrupar como uma nova matriz :
Então, podemos escrever:

Passo 6

A matriz é triangular inferior porque é triangular inferior e é diagonal (que também é triangular inferior). Portanto, conseguimos expressar na forma , que é a decomposição de Cholesky.

Resposta

A matriz pode ser escrita como , onde é uma matriz triangular inferior. Essa é a decomposição de Cholesky.

Exercícios relacionados

Pede-se:
(a) encontre o conjunto solução da equação ;
(b) utilizando o maior valor de encontrado no item anterior, encontre o valor de para que o sistema linear tenha infinitas soluções. (Use o processo da eliminação de Gauss).
(a) Aplique o método da Eliminação de Gauss, sem pivoteamento parcial, deixando os valores em função de e .
(b) Para quais valores de e o sistema linear
  • admite infinitas soluções;
  • admite solução única;
  • não admite solução;
    Justifique.
Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais):
a)
Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais):