Um analista de uma grande companhia de seguros deseja fazer a imunização da sua posição no mercado através da realocação em função dos pagamentos do governo federal. Com conhecimento prévio sobre a função de maturidade do vencimento do governo federal segue a função , sendo o número de dias. Considerando que o mesmo não dispõe de computadores suficientes para recalcular tal função diariamente. O mesmo deseja aproximar tal função de maneira quadrática para facilitar suas contas. Utilizando o método dos mínimos quadrados qual é a função quadrática que aproxima esta função?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de matemática aplicado ao mercado financeiro. Temos uma função complexa definida no intervalo de , que representa a maturidade do vencimento do governo federal em dias. O objetivo é aproximar essa função por uma função quadrática usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, precisamos entender como esse método funciona e aplicar os cálculos necessários passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função quadrática. É uma função do tipo , onde , e são constantes que precisamos determinar para aproximar nossa função original .

Passo 3

O método dos mínimos quadrados busca encontrar os coeficientes , e da função quadrática que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre e no intervalo considerado. Ou seja, queremos que a função quadrática fique o mais próxima possível da função original nos pontos de interesse.

Passo 4

Para aplicar o método, precisamos calcular algumas integrais no intervalo de a . Vamos definir:

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais:

Passo 6

Agora, vamos calcular as integrais envolvendo :

Passo 7

Com todas as integrais calculadas, podemos montar o sistema de equações para encontrar , e :
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Após resolver as equações (utilizando métodos de álgebra linear, como substituição ou matriz), obtemos:

Resposta

A função quadrática que aproxima no intervalo pelo método dos mínimos quadrados é:

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