Um analista de uma grande companhia de seguros deseja fazer a imunização da sua posição no mercado através da realocação em função dos pagamentos do governo federal. Com conhecimento prévio sobre a função de maturidade do vencimento do governo federal segue a função f(t)=t^5-2 t^2 in[0,2], sendo t o número de dias. Considerando que o mesmo não dispõe de computadores suficientes para recalcular tal função diariamente. O mesmo deseja aproximar tal função de maneira quadrática para facilitar suas contas. Utilizando o método dos mínimos quadrados qual é a função quadrática que aproxima esta função?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de matemática aplicado ao mercado financeiro. Temos uma função complexa f(t) = t^5 - 2t^2 definida no intervalo de t in [0,2], que representa a maturidade do vencimento do governo federal em dias. O objetivo é aproximar essa função por uma função quadrática usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, precisamos entender como esse método funciona e aplicar os cálculos necessários passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função quadrática. É uma função do tipo g(t) = at^2 + bt + c, onde a, b e c são constantes que precisamos determinar para aproximar nossa função original f(t).

Passo 3

O método dos mínimos quadrados busca encontrar os coeficientes a, b e c da função quadrática que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre f(t) e g(t) no intervalo considerado. Ou seja, queremos que a função quadrática fique o mais próxima possível da função original nos pontos de interesse.

Passo 4

Para aplicar o método, precisamos calcular algumas integrais no intervalo de 0 a 2. Vamos definir:
  • I0 = integral0^2 dt
  • I1 = integral0^2 t , dt
  • I2 = integral0^2 t^2 , dt
  • I3 = integral0^2 t^3 , dt
  • I4 = integral0^2 t^4 , dt
  • I5 = integral0^2 t^5 , dt
  • J0 = integral0^2 f(t) , dt
  • J1 = integral0^2 t cdot f(t) , dt
  • J2 = integral0^2 t^2 cdot f(t) , dt

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
  • I0 = integral0^2 dt = 2
  • I1 = integral0^2 t , dt = [t^22]0^2 = 2
  • I2 = integral0^2 t^2 , dt = [t^33]0^2 = 83
  • I3 = integral0^2 t^3 , dt = [t^44]0^2 = 4
  • I4 = integral0^2 t^4 , dt = [t^55]0^2 = 325
  • I5 = integral0^2 t^5 , dt = [t^66]0^2 = 646 = 323

Passo 6

Agora, vamos calcular as integrais envolvendo f(t):
  • J0 = integral0^2 (t^5 - 2t^2) , dt = I5 - 2I2 = 323 - 2 cdot 83 = 323 - 163 = 163
  • J1 = integral0^2 t cdot (t^5 - 2t^2) , dt = integral0^2 t^6 - 2t^3 , dt = [t^77]0^2 - 2[t^44]0^2 = 1287 - 2 cdot 4 = 1287 - 8 = 128 - 567 = 727
  • J2 = integral0^2 t^2 cdot (t^5 - 2t^2) , dt = integral0^2 t^7 - 2t^4 , dt = [t^88]0^2 - 2[t^55]0^2 = 2568 - 2 cdot 325 = 32 - 645 = 1605 - 645 = 965

Passo 7

Com todas as integrais calculadas, podemos montar o sistema de equações para encontrar a, b e c:
a I4 + b I3 + c I2 = J2 a I3 + b I2 + c I1 = J1 a I2 + b I1 + c I0 = J0
Substituindo os valores:
a cdot 325 + b cdot 4 + c cdot 83 = 965 a cdot 4 + b cdot 83 + c cdot 2 = 727 a cdot 83 + b cdot 2 + c cdot 2 = 163

Passo 8

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a, b e c. Após resolver as equações (utilizando métodos de álgebra linear, como substituição ou matriz), obtemos:
a = -1635, b = 4835, c = 1615

Resposta

A função quadrática que aproxima f(t) = t^5 - 2t^2 no intervalo [0,2] pelo método dos mínimos quadrados é:
g(t) = -1635 t^2 + 4835 t + 1615

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