Na engenharia financeira é comum se trabalhar como modelos em tempo contínuo, tal prática advém das características matemáticas vantajosas de se substituir expressões 1(1+i)^t por e^r t. Apesar de aparentar que ocorrer um aumento na complexidade dos cálculos envolvidos, a realidade informa que o aproveitamento destas propriedades matemáticas é facilmente compensada em diversas situações.
b) Repita a integração utilizando 6 pontos (ou 5 intervalos) pela regra do trapézio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre usar a Regra do Trapézio para fazer uma integração numérica utilizando 6 pontos (ou 5 intervalos). Na engenharia financeira, isso pode ser útil para calcular valores como o valor presente de fluxos de caixa contínuos. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é a Regra do Trapézio, como aplicá-la passo a passo e, claro, realizar os cálculos necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é a Regra do Trapézio. É um método de integração numérica que aproxima a área sob uma curva dividindo-a em trapézios em vez de retângulos (como na Regra dos Retângulos). Isso geralmente resulta em uma estimativa mais precisa.
A fórmula geral da Regra do Trapézio para integrala^b f(x) ,dx approx De intervalos é:
Onde:
  • e são os limites de integração.
  • é o tamanho de cada intervalo.
  • são os pontos onde a função é avaliada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso exercício. Como o enunciado não especifica uma função ou intervalo, vamos supor um exemplo para ilustrar o processo. Vamos integrar a função de a , que é comum em finanças para calcular valores presentes contínuos.
Vamos assumir:
  • (taxa de desconto de 5%).
  • anos.
  • Número de pontos: 6 (ou seja, 5 intervalos).

Passo 4

Primeiro, calculamos o tamanho de cada intervalo ( De):
Então, nossos pontos são:

Passo 5

Agora, avaliamos a função f(t0) &= e^0.05 times 0 = e^0 = 1, f(t1) &= e^0.05 times 1 approx 1,05127, f(t2) &= e^0.05 times 2 approx 1,10517, f(t3) &= e^0.05 times 3 approx 1,16183, f(t4) &= e^0.05 times 4 approx 1,22140, f(t5) &= e^0.05 times 5 approx 1,28403 em cada ponto:

Passo 6

Aplicamos agora a Regra do Trapézio com esses valores:
integral0^5 e^0.05t ,dt approx 12 [ f(t0) + 2f(t1) + 2f(t2) + 2f(t3) + 2f(t4) + f(t5) ]
Substituindo os valores:
approx 12 [ 1 + 2(1,05127) + 2(1,10517) + 2(1,16183) + 2(1,22140) + 1,28403 ]

Passo 7

Calculando o que está dentro dos colchetes:
1 + 2(1,05127) = 1 + 2,10254 = 3,10254
3,10254 + 2(1,10517) = 3,10254 + 2,21034 = 5,31288
5,31288 + 2(1,16183) = 5,31288 + 2,32366 = 7,63654
7,63654 + 2(1,22140) = 7,63654 + 2,44280 = 10,07934
10,07934 + 1,28403 = 11,36337
Então:
approx 12 times 11,36337 = 5,681685

Resposta

A integral de de 0 a 5 anos, calculada pela Regra do Trapézio com 6 pontos (5 intervalos), é aproximadamente 5,6817.

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