Na engenharia financeira é comum se trabalhar como modelos em tempo contínuo, tal prática advém das características matemáticas vantajosas de se substituir expressões por . Apesar de aparentar que ocorrer um aumento na complexidade dos cálculos envolvidos, a realidade informa que o aproveitamento destas propriedades matemáticas é facilmente compensada em diversas situações.
b) Repita a integração utilizando 6 pontos (ou 5 intervalos) pela regra do trapézio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre usar a Regra do Trapézio para fazer uma integração numérica utilizando 6 pontos (ou 5 intervalos). Na engenharia financeira, isso pode ser útil para calcular valores como o valor presente de fluxos de caixa contínuos. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é a Regra do Trapézio, como aplicá-la passo a passo e, claro, realizar os cálculos necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é a Regra do Trapézio. É um método de integração numérica que aproxima a área sob uma curva dividindo-a em trapézios em vez de retângulos (como na Regra dos Retângulos). Isso geralmente resulta em uma estimativa mais precisa.
A fórmula geral da Regra do Trapézio para intervalos é:
Onde:
e são os limites de integração.
é o tamanho de cada intervalo.
são os pontos onde a função é avaliada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso exercício. Como o enunciado não especifica uma função ou intervalo, vamos supor um exemplo para ilustrar o processo. Vamos integrar a função de a , que é comum em finanças para calcular valores presentes contínuos.
Vamos assumir:
(taxa de desconto de 5%).
anos.
Número de pontos: 6 (ou seja, 5 intervalos).
Passo 4
Primeiro, calculamos o tamanho de cada intervalo ():
Então, nossos pontos são:
Passo 5
Agora, avaliamos a função em cada ponto:
Passo 6
Aplicamos agora a Regra do Trapézio com esses valores:
Substituindo os valores:
Passo 7
Calculando o que está dentro dos colchetes:
Então:
Resposta
A integral de de 0 a 5 anos, calculada pela Regra do Trapézio com 6 pontos (5 intervalos), é aproximadamente 5,6817.