Na engenharia financeira é comum se trabalhar como modelos em tempo contínuo, tal prática advém das características matemáticas vantajosas de se substituir expressões por . Apesar de aparentar que ocorrer um aumento na complexidade dos cálculos envolvidos, a realidade informa que o aproveitamento destas propriedades matemáticas é facilmente compensada em diversas situações.
b) Repita a integração utilizando 6 pontos (ou 5 intervalos) pela regra do trapézio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre usar a Regra do Trapézio para fazer uma integração numérica utilizando 6 pontos (ou 5 intervalos). Na engenharia financeira, isso pode ser útil para calcular valores como o valor presente de fluxos de caixa contínuos. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é a Regra do Trapézio, como aplicá-la passo a passo e, claro, realizar os cálculos necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é a Regra do Trapézio. É um método de integração numérica que aproxima a área sob uma curva dividindo-a em trapézios em vez de retângulos (como na Regra dos Retângulos). Isso geralmente resulta em uma estimativa mais precisa.
A fórmula geral da Regra do Trapézio para intervalos é:
Onde:
  • e são os limites de integração.
  • é o tamanho de cada intervalo.
  • são os pontos onde a função é avaliada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso exercício. Como o enunciado não especifica uma função ou intervalo, vamos supor um exemplo para ilustrar o processo. Vamos integrar a função de a , que é comum em finanças para calcular valores presentes contínuos.
Vamos assumir:
  • (taxa de desconto de 5%).
  • anos.
  • Número de pontos: 6 (ou seja, 5 intervalos).

Passo 4

Primeiro, calculamos o tamanho de cada intervalo ( ):
Então, nossos pontos são:

Passo 5

Agora, avaliamos a função em cada ponto:

Passo 6

Aplicamos agora a Regra do Trapézio com esses valores:
Substituindo os valores:

Passo 7

Calculando o que está dentro dos colchetes:
Então:

Resposta

A integral de de 0 a 5 anos, calculada pela Regra do Trapézio com 6 pontos (5 intervalos), é aproximadamente 5,6817.

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