Chegando na casa indicada, Sherlock encontrou o seu fiel parceiro, John Watson, amarrado e segurando um bilhete nas mãos. No bilhete dizia que no estacionamento onde foi encontrado a primeira pista teria um carro cujo o número da placa é dado pelo valor de uma parábola que aproxime a função f(x)=x^4 no intervalo [-1,1] em x=0,5
a) Para agilizar os cálculos Sherlock decidiu aproximar a função f(x)=x^4 por uma parábola P2(x)= c0 phi0(x)+c1 phi1(x)+c2 phi2(x), através do método dos mínimos quadrados, mas utilizando as bases ortogonais de Legendre phi0(x)=1, phi1(x)=x e phi2(x)=12(3 x^2-1). Qual foi a aproximação por mínimos quadrados que Sherlock obteve?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde o Sherlock quer aproximar a função usando uma parábola no intervalo no ponto . Para fazer isso, ele vai usar o método dos mínimos quadrados com as bases ortogonais de Legendre. Nosso objetivo aqui é encontrar essa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma aproximação por mínimos quadrados. Esse método busca encontrar os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre a função original e a aproximação. No nosso caso, queremos que se aproxime o máximo possível de .

Passo 3

A parábola que vamos usar tem a forma:
P2(x) = c0 phi0(x) + c1 phi1(x) + c2 phi2(x)
Onde as funções de base de Legendre são:
phi0(x) = 1, phi1(x) = x, phi2(x) = 12(3x^2 - 1)
Como elas são ortogonais, podemos encontrar cada coeficiente ck = lang<= f, phik rang<=lang<= phik, phik rang<= usando a fórmula:
lang<= f, phik rang<= = integral-1^1 f(x) phik(x) , dx
Onde é o produto interno de com , calculado por:

Passo 4

Vamos calcular cada coeficiente:
Para c0 = integral-1^1 x^4 cdot 1 , dxintegral-1^1 1^2 , dx = integral-1^1 x^4 , dx2 :
integral-1^1 x^4 , dx = 2 cdot 15 = 25
Calculando a integral:
c0 = 252 = 15
Então:
c1 = integral-1^1 x^4 cdot x , dxintegral-1^1 x^2 , dx = integral-1^1 x^5 , dx23
Para integral-1^1 x^5 , dx = 0 :
c1 = 023 = 0
Como c2 = integral-1^1 x^4 cdot 12(3x^2 - 1) , dxintegral-1^1 (12(3x^2 - 1))^2 , dx é uma função ímpar e o intervalo é simétrico em relação a zero:
integral-1^1 x^4 cdot 12(3x^2 - 1) , dx = 12 (3 integral-1^1 x^6 , dx - integral-1^1 x^4 , dx) = 12 (3 cdot 27 - 25) = 835
Portanto:
integral-1^1 (12(3x^2 - 1))^2 , dx = 14 (9 cdot 25 - 6 cdot 23 + 2) = 25
Para c2 = 83525 = 835 cdot 52 = 47 :
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 5

Agora que temos os coeficientes, podemos montar a aproximação:
P2(x) = 15 + 0 cdot x + 47 cdot 12(3x^2 - 1) = 15 + 47 cdot 3x^2 - 12 = 67x^2 - 335

Resposta

A aproximação por mínimos quadrados que Sherlock obteve é:
P2(x) = 67x^2 - 335

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