Chegando na casa indicada, Sherlock encontrou o seu fiel parceiro, John Watson, amarrado e segurando um bilhete nas mãos. No bilhete dizia que no estacionamento onde foi encontrado a primeira pista teria um carro cujo o número da placa é dado pelo valor de uma parábola que aproxime a função no intervalo em
a) Para agilizar os cálculos Sherlock decidiu aproximar a função por uma parábola , através do método dos mínimos quadrados, mas utilizando as bases ortogonais de Legendre e . Qual foi a aproximação por mínimos quadrados que Sherlock obteve?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde o Sherlock quer aproximar a função usando uma parábola no intervalo no ponto . Para fazer isso, ele vai usar o método dos mínimos quadrados com as bases ortogonais de Legendre. Nosso objetivo aqui é encontrar essa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma aproximação por mínimos quadrados. Esse método busca encontrar os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre a função original e a aproximação. No nosso caso, queremos que se aproxime o máximo possível de .

Passo 3

A parábola que vamos usar tem a forma:
Onde as funções de base de Legendre são:
Como elas são ortogonais, podemos encontrar cada coeficiente usando a fórmula:
Onde é o produto interno de com , calculado por:

Passo 4

Vamos calcular cada coeficiente:
Para :
Calculando a integral:
Então:
Para :
Como é uma função ímpar e o intervalo é simétrico em relação a zero:
Portanto:
Para :
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 5

Agora que temos os coeficientes, podemos montar a aproximação:

Resposta

A aproximação por mínimos quadrados que Sherlock obteve é:

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