Chegando na casa indicada, Sherlock encontrou o seu fiel parceiro, John Watson, amarrado e segurando um bilhete nas mãos. No bilhete dizia que no estacionamento onde foi encontrado a primeira pista teria um carro cujo o número da placa é dado pelo valor de uma parábola que aproxime a função
no intervalo
em
a) Para agilizar os cálculos Sherlock decidiu aproximar a função
por uma parábola
, através do método dos mínimos quadrados, mas utilizando as bases ortogonais de Legendre
e
. Qual foi a aproximação por mínimos quadrados que Sherlock obteve?
a) Para agilizar os cálculos Sherlock decidiu aproximar a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde o Sherlock quer aproximar a função
usando uma parábola
no intervalo
no ponto
. Para fazer isso, ele vai usar o método dos mínimos quadrados com as bases ortogonais de Legendre. Nosso objetivo aqui é encontrar essa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma aproximação por mínimos quadrados. Esse método busca encontrar os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre a função original e a aproximação. No nosso caso, queremos que
se aproxime o máximo possível de
.
Passo 3
A parábola que vamos usar tem a forma:
Onde as funções de base de Legendre são:
Como elas são ortogonais, podemos encontrar cada coeficiente
usando a fórmula:
Onde
é o produto interno de
com
, calculado por:
Passo 4
Vamos calcular cada coeficiente:
Para
:
Calculando a integral:
Então:
Para
:
Como
é uma função ímpar e o intervalo é simétrico em relação a zero:
Portanto:
Para
:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 5
Agora que temos os coeficientes, podemos montar a aproximação:
Resposta
A aproximação por mínimos quadrados que Sherlock obteve é: