Utilizando 8 casas decimais e a Quadratura de Gauss, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
b) 3 pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o valor de que é igual à integral de de 1 até 2. Para isso, vamos usar a Quadratura de Gauss com 3 pontos, que é uma técnica de aproximação para integrais. No final, também vamos ver qual foi o erro relativo dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, a Quadratura de Gauss para 3 pontos nos dá pontos e pesos específicos que vamos usar. No intervalo padrão de , os nós (pontos) e pesos para 3 pontos são:
Passo 3
Como nossa integral é de 1 a 2, precisamos fazer uma mudança de variável para transformar esse intervalo no padrão de . Usamos a substituição:
Aqui, e , então:
E .
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral usando essa substituição:
Simplificando:
Passo 5
Aplicamos a Quadratura de Gauss:
Substituindo os valores de e :
Passo 6
Calculando cada termo:
Somando os três termos:
Passo 7
Então, a aproximação para usando a Quadratura de Gauss com 3 pontos é aproximadamente .
Resposta
Aproximação de = com um erro relativo de aproximadamente ou .