Sabe-se que
ln 2=integral1^2 1x d x
Utilizando 8 casas decimais e a Quadratura de Gauss, calcule uma aproximação para ln 2, e o erro relativo cometido, com
b) 3 pontos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o valor de ln 2 que é igual à integral de 1x de 1 até 2. Para isso, vamos usar a Quadratura de Gauss com 3 pontos, que é uma técnica de aproximação para integrais. No final, também vamos ver qual foi o erro relativo dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, a Quadratura de Gauss para 3 pontos nos dá pontos e pesos específicos que vamos usar. No intervalo padrão de [-1, 1], os nós (pontos) e pesos para 3 pontos são:
x1 &= -raiz35, &w1 &= 59, x2 &= 0, &w2 &= 89, x3 &= raiz35, &w3 &= 59

Passo 3

Como nossa integral é de 1 a 2, precisamos fazer uma mudança de variável para transformar esse intervalo no padrão de [-1, 1]. Usamos a substituição:
x = (b - a)2 t + (a + b)2
Aqui, a = 1 e b = 2, então:
x = 12 t + 32
E dx = 12 dt.

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral usando essa substituição:
integral1^2 1x dx = 12 integral-1^1 112 t + 32 dt
Simplificando:
12 integral-1^1 2t + 3 dt = integral-1^1 1t + 3 dt

Passo 5

Aplicamos a Quadratura de Gauss:
integral-1^1 1t + 3 dt approx sumi=1^3 wi cdot 1xi + 3
Substituindo os valores de xi e wi:
approx 59 cdot 1-raiz35 + 3 + 89 cdot 10 + 3 + 59 cdot 1raiz35 + 3

Passo 6

Calculando cada termo:
Primeiro termo &= 59 cdot 13 - raiz35 approx 59 cdot 0.315837 = 0.175464, Segundo termo &= 89 cdot 13 = 827 approx 0.296296, Terceiro termo &= 59 cdot 13 + raiz35 approx 59 cdot 0.237138 = 0.131766
Somando os três termos:
0.175464 + 0.296296 + 0.131766 approx 0.603526

Passo 7

Então, a aproximação para ln 2 usando a Quadratura de Gauss com 3 pontos é aproximadamente 0.603526.

Resposta

Aproximação de ln 2 = 0.60352600 com um erro relativo de aproximadamente | 0.60352600 - 0.693147180.69314718 | approx 0.1295 ou 12.95%.

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