Resolva, usando o método de Eliminação de Gauss, o seguinte sistema:
l x1+2 x2+x3=3 2 x1+3 x2+2 x3=5 3 x1+5 x2+x3=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Eliminação de Gauss. Esse método ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores das incógnitas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e operações com linhas. Nosso sistema é:
l x1 + 2x2 + x3 = 3 2x1 + 3x2 + 2x3 = 5 3x1 + 5x2 + x3 = 1

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que junta os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 2 & 1 & | & 3 2 & 3 & 2 & | & 5 3 & 5 & 1 & | & 1

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, ter zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar eliminando o x1 das equações de baixo.
Para eliminar o x1 da segunda linha, fazemos:
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1
Aplicando:
2 - 2 times 1 = 0 3 - 2 times 2 = -1 2 - 2 times 1 = 0 5 - 2 times 3 = -1
Então, a nova segunda linha fica:
0 -1 0 | -1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x1 da terceira linha. Fazemos:
Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1
Aplicando:
3 - 3 times 1 = 0 5 - 3 times 2 = -1 1 - 3 times 1 = -2 1 - 3 times 3 = -8
Então, a nova terceira linha fica:
0 -1 -2 | -8
A matriz agora está assim:
1 & 2 & 1 & | & 3 0 & -1 & 0 & | & -1 0 & -1 & -2 & | & -8

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna para eliminar o x2 da terceira linha. Primeiro, podemos multiplicar a segunda linha por -1 para facilitar:
Linha 2 = -1 times Linha 2
Isso resulta em:
0 1 0 | 1
Agora, eliminamos o x2 da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
Aplicando:
0 - 0 = 0 -1 - 1 = -2 -2 - 0 = -2 -8 - 1 = -9
Então, a terceira linha fica:
0 -2 -2 | -9
A matriz agora é:
1 & 2 & 1 & | & 3 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & -2 & -2 & | & -9

Passo 6

Vamos simplificar ainda mais. Na terceira linha, podemos dividir todos os termos por -2 para facilitar:
Linha 3 = 1-2 times Linha 3
Isso resulta em:
0 1 1 | 4.5
Então, a matriz fica:
1 & 2 & 1 & | & 3 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 1 & 1 & | & 4.5

Passo 7

Agora, vamos eliminar o x2 da terceira linha usando a segunda linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
Aplicando:
0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 1 - 0 = 1 4.5 - 1 = 3.5
A terceira linha fica:
0 0 1 | 3.5
A matriz agora está na forma triangular superior:
1 & 2 & 1 & | & 3 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 1 & | & 3.5

Passo 8

Com a matriz na forma triangular superior, podemos agora resolver as equações de baixo para cima.
Da terceira linha:
x3 = 3.5
Da segunda linha:
x2 = 1
E da primeira linha:
x1 + 2x2 + x3 = 3 x1 + 2(1) + 3.5 = 3 x1 + 2 + 3.5 = 3 x1 + 5.5 = 3 x1 = 3 - 5.5 x1 = -2.5

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -2.5, x2 = 1, x3 = 3.5

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