O ângulo satisfaz a equação não linear
2 v0^2 sen theta cos thetag=d
onde v0 é a velocidade inicial e g é a aceleração da gravidade.
Supondo que v0 e d são fixos e que d g / v0^2 <= 1, mostre que
theta=12 arcsen(d gv0^2)
resolve a equação.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos a equação não linear
2 v0^2 sin theta cos thetag = d
Aqui, v0 é a velocidade inicial, g é a aceleração da gravidade e d é uma distância fixa. O objetivo é mostrar que
theta = 12 arcsin(d gv0^2)
resolve a equação dada. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de trigonometria, especificamente sobre identidades trigonométricas que envolvem produtos de seno e cosseno.

Passo 2

Vamos começar simplificando a equação original. Note que no numerador temos 2 sin theta cos theta. Existe uma identidade trigonométrica que diz que 2 sin theta cos theta = sin 2theta. Vamos aplicar isso para simplificar a equação.

Passo 3

Substituindo a identidade na equação, temos:
v0^2 sin 2thetag = d
Agora, vamos isolar sin 2theta para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por gv0^2, obtemos:
sin 2theta = d gv0^2
Isso nos leva a uma expressão onde sin 2theta é igual a uma fração conhecida.

Passo 5

Para encontrar o valor de 2theta, podemos aplicar a função inversa do seno, a arcsin. Assim, temos:
2theta = arcsin(d gv0^2)

Passo 6

Finalmente, isolando theta, dividimos ambos os lados da equação por 2:
theta = 12 arcsin(d gv0^2)

Resposta

Portanto, mostramos que
theta = 12 arcsin(d gv0^2)
resolve a equação dada.

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