Suponha que é uma função com a propriedade para todo . Mostre que:
(b) .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que satisfaz para todo . O objetivo é mostrar que a derivada de em 0, ou seja, , é igual a 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a definição de derivada.
Passo 2
A definição da derivada de em 0 é dada por:
No nosso caso, precisamos calcular esse limite para mostrar que ele é igual a 0.
Passo 3
Sabemos que . Isso significa que para qualquer próximo de 0 (exceto ), temos:
Isso nos ajuda a limitar o valor de .
Passo 4
Vamos usar essa desigualdade na expressão da derivada:
Isso mostra que o valor absoluto da expressão da derivada é menor ou igual a .
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite:
Pelo Teorema do Aperto (Squeeze Theorem), se está sempre entre e , e ambos os limites laterais são 0, então: