Suponha que f é uma função com a propriedade |f(x)| <= x^2 para todo x. Mostre que:
(b) f^prime(0)=0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que satisfaz para todo . O objetivo é mostrar que a derivada de em 0, ou seja, , é igual a 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a definição de derivada.

Passo 2

A definição da derivada de f'(0) = limh to 0 f(h) - f(0)h em 0 é dada por:
No nosso caso, precisamos calcular esse limite para mostrar que ele é igual a 0.

Passo 3

Sabemos que |f(h)| <= h^2 . Isso significa que para qualquer próximo de 0 (exceto ), temos:
Isso nos ajuda a limitar o valor de .

Passo 4

Vamos usar essa desigualdade na expressão da derivada:
| f(h) - f(0)h | = | f(h)h | <= |f(h)||h| <= h^2|h| = |h|
Isso mostra que o valor absoluto da expressão da derivada é menor ou igual a .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite:
limh to 0 | f(h)h | <= limh to 0 |h| = 0
Pelo Teorema do Aperto (Squeeze Theorem), se limh to 0 f(h)h = 0 está sempre entre e , e ambos os limites laterais são 0, então:

Resposta

Exercícios relacionados