Suponha que é uma função com a propriedade para todo . Mostre que:
(b) .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que satisfaz para todo . O objetivo é mostrar que a derivada de em 0, ou seja, , é igual a 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a definição de derivada.

Passo 2

A definição da derivada de em 0 é dada por:
No nosso caso, precisamos calcular esse limite para mostrar que ele é igual a 0.

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que para qualquer próximo de 0 (exceto ), temos:
Isso nos ajuda a limitar o valor de .

Passo 4

Vamos usar essa desigualdade na expressão da derivada:
Isso mostra que o valor absoluto da expressão da derivada é menor ou igual a .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite:
Pelo Teorema do Aperto (Squeeze Theorem), se está sempre entre e , e ambos os limites laterais são 0, então:

Resposta

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Use aproximação linear para estimar o número dado.
(e)
O ângulo satisfaz a equação não linear
onde é a velocidade inicial e é a aceleração da gravidade.
Supondo que e são fixos e que , mostre que
resolve a equação.
Calcule os limites.
©
Calcule a derivada da função.
(d)