Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma raiz da equação
usando o método da bissecção, com uma precisão de
. Isso significa que vamos dividir o intervalo até que a diferença entre os limites seja menor que 0,0001. Vamos precisar entender como funciona o método da bissecção e aplicar algumas funções matemáticas básicas como o logaritmo e o seno.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
tenham sinais opostos. Isso garante que existe pelo menos uma raiz dentro desse intervalo devido ao Teorema do Valor Intermediário.
Vamos testar alguns valores:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Vemos que
é negativo e
é positivo. Então, nosso intervalo inicial será
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar o sinal da função no ponto médio. Dependendo do sinal, substituímos um dos limites pelo ponto médio, reduzindo o intervalo pela metade a cada iteração.
Vamos começar:
-
Iteração 1:
-
, -
-
- Como
, substituímos por . Novo intervalo:
-
-
Iteração 2:
-
, -
-
-
, substituímos por . Novo intervalo:
-
-
Iteração 3:
-
, -
-
-
, substituímos por . Novo intervalo:
-
Continuamos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que 0,0001.
Passo 4
Vamos continuar com mais algumas iterações para ilustrar:
-
Iteração 4:
-
, -
-
-
, substituímos por . Novo intervalo:
-
-
Iteração 5:
-
, -
-
-
, substituímos por . Novo intervalo:
-
Continuando esse processo até que
.
Passo 5
Após várias iterações seguindo o mesmo padrão, chegamos a um intervalo
onde a largura é menor que 0,0001 e a função troca de sinal. Isso significa que a raiz está dentro desse intervalo com a precisão desejada.
Resposta
A raiz da equação
encontrada pelo método da bissecção com precisão
é aproximadamente
.