Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão epsilon1=epsilon2=0,0001 :
f(x)=ln (x)-sen(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma raiz da equação usando o método da bissecção, com uma precisão de . Isso significa que vamos dividir o intervalo até que a diferença entre os limites seja menor que 0,0001. Vamos precisar entender como funciona o método da bissecção e aplicar algumas funções matemáticas básicas como o logaritmo e o seno.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um intervalo f(1) = ln(1) - sin(1) = 0 - sin(1) approx -0,8415 onde a função muda de sinal, ou seja, f(2) = ln(2) - sin(2) approx 0,6931 - 0,9093 approx -0,2162 e f(3) = ln(3) - sin(3) approx 1,0986 - 0,1411 approx 0,9575 tenham sinais opostos. Isso garante que existe pelo menos uma raiz dentro desse intervalo devido ao Teorema do Valor Intermediário.
Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que é negativo e é positivo. Então, nosso intervalo inicial será .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar o sinal da função no ponto médio. Dependendo do sinal, substituímos um dos limites pelo ponto médio, reduzindo o intervalo pela metade a cada iteração.
Vamos começar:
  1. Iteração 1:
    • ,
    • Como , substituímos por . Novo intervalo:
  2. Iteração 2:
    • ,
    • , substituímos por . Novo intervalo:
  3. Iteração 3:
    • ,
    • , substituímos por . Novo intervalo:
Continuamos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que 0,0001.

Passo 4

Vamos continuar com mais algumas iterações para ilustrar:
  1. Iteração 4:
    • ,
    • , substituímos por . Novo intervalo:
  2. Iteração 5:
    • ,
    • , substituímos por . Novo intervalo:
Continuando esse processo até que .

Passo 5

Após várias iterações seguindo o mesmo padrão, chegamos a um intervalo onde a largura é menor que 0,0001 e a função troca de sinal. Isso significa que a raiz está dentro desse intervalo com a precisão desejada.

Resposta

A raiz da equação encontrada pelo método da bissecção com precisão é aproximadamente .

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