Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma raiz da equação usando o método da bissecção, com uma precisão de . Isso significa que vamos dividir o intervalo até que a diferença entre os limites seja menor que 0,0001. Vamos precisar entender como funciona o método da bissecção e aplicar algumas funções matemáticas básicas como o logaritmo e o seno.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e tenham sinais opostos. Isso garante que existe pelo menos uma raiz dentro desse intervalo devido ao Teorema do Valor Intermediário.
Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que é negativo e é positivo. Então, nosso intervalo inicial será .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar o sinal da função no ponto médio. Dependendo do sinal, substituímos um dos limites pelo ponto médio, reduzindo o intervalo pela metade a cada iteração.
Vamos começar:
  1. Iteração 1:
    • ,
    • Como , substituímos por . Novo intervalo:
  2. Iteração 2:
    • ,
    • , substituímos por . Novo intervalo:
  3. Iteração 3:
    • ,
    • , substituímos por . Novo intervalo:
Continuamos esse processo até que a largura do intervalo seja menor que 0,0001.

Passo 4

Vamos continuar com mais algumas iterações para ilustrar:
  1. Iteração 4:
    • ,
    • , substituímos por . Novo intervalo:
  2. Iteração 5:
    • ,
    • , substituímos por . Novo intervalo:
Continuando esse processo até que .

Passo 5

Após várias iterações seguindo o mesmo padrão, chegamos a um intervalo onde a largura é menor que 0,0001 e a função troca de sinal. Isso significa que a raiz está dentro desse intervalo com a precisão desejada.

Resposta

A raiz da equação encontrada pelo método da bissecção com precisão é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
As raízes de podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a)
b)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
O ângulo satisfaz a equação não linear
onde é a velocidade inicial e é a aceleração da gravidade.
Supondo que e são fixos e que , mostre que
resolve a equação.