As raízes de f(x)=ln (x)-x+2=0 podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a) xi+1=varphi(xi)=2+ln (xi)
b) xi+1=e^xi-2
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as raízes da função usando o Método do Ponto Fixo (MPF). Para isso, temos duas fórmulas iterativas:
a)
b)
Vamos analisar qual dessas fórmulas converge para uma raiz da equação e, depois, calcular a raiz começando de um valor inicial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o Método do Ponto Fixo. Esse método busca encontrar um valor varphi(x) = 2 + ln(x) que satisfaça varphi'(x) = 1x . Para que o método converja para uma solução, a função |1x| < 1 implies |x| > 1 precisa atender a certos critérios de convergência.
Um dos principais critérios é que a derivada de varphi(x) = e^x - 2 em valor absoluto seja menor que 1 no ponto fixo. Ou seja, varphi'(x) = e^x - 2 .
Vamos aplicar isso às duas fórmulas:
Para a fórmula a):
e^x - 2 < 1 implies x - 2 < 0 implies x < 2
Calculando a derivada:
Para que :
Então, se , essa condição é satisfeita.
Para a fórmula b):
Calculando a derivada:
Para que :
Então, se , essa condição é satisfeita.
Agora, precisamos escolher um intervalo onde ambas as fórmulas possam ser aplicadas e verificar qual delas realmente converge para a raiz.

Passo 3

Vamos escolher um valor inicial que satisfaça as condições de convergência para as fórmulas:
  • Para a fórmula a),
  • Para a fórmula b),
Um bom valor inicial que satisfaz ambas é .
Vamos começar aplicando as duas fórmulas para ver qual delas tende a convergir.
Aplicando a fórmula a):
Observamos que os valores estão aumentando, saindo do intervalo onde . Isso indica que a fórmula a) não está convergindo.
Aplicando a fórmula b):
Vemos que os valores estão se estabilizando em torno de 0.159, indicando que a fórmula b) está convergindo para uma raiz.

Resposta

A fórmula que converge para a raiz da equação é a fórmula b): . A raiz aproximada encontrada, partindo de , é .

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