A aplicação do método da eliminação de Gauss para calcular a inversa de uma matriz consiste na resolução de sistemas lineares da forma , onde os elementos do vetor bj são definidos como:
e cada vetor solução corresponde à coluna da matriz inversa.
Determine a inversa da matriz abaixo pelo método da eliminação de Gauss:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada A de ordem 4 times 4 e queremos encontrar a sua inversa usando o método da eliminação de Gauss. Esse método envolve resolver quatro sistemas lineares diferentes, onde cada sistema corresponde a uma coluna da matriz inversa. Para isso, precisamos saber como aplicar a eliminação de Gauss e entender como montar e resolver esses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz inversa. A inversa de uma matriz A, representada por A^-1, é a matriz que, quando multiplicada por A, resulta na matriz identidade I. Ou seja:
A times A^-1 = I
Para encontrar A^-1 usando a eliminação de Gauss, vamos resolver quatro sistemas lineares da forma Ax^j = b^j, onde cada vetor b^j tem 1 na posição j e 0 nas outras posições.
Passo 3
Vamos montar os quatro sistemas lineares. Cada sistema tem a matriz A e um vetor b^j específico:
Para j=1:
Ax^1 = 1 0 0 0
Para j=2:
Ax^2 = 0 1 0 0
Para j=3:
Ax^3 = 0 0 1 0
Para j=4:
Ax^4 = 0 0 0 1
Cada solução x^j será uma coluna da matriz inversa A^-1.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss em cada sistema. Esse método consiste em transformar a matriz aumentada [A|b^j] em uma forma escalonada, facilitando a resolução das incógnitas.
Vamos fazer isso para o primeiro sistema, onde b^1 = [1 0 0 0]^T.
Usamos operações de linha para zerar os elementos abaixo do pivô (primeiro elemento da primeira linha). Repetimos esse processo para cada pivô subsequente até obter uma matriz triangular superior.
Passo 5
Após aplicar a eliminação de Gauss nos quatro sistemas, obtemos as soluções x^1, x^2, x^3 e x^4. Cada uma dessas soluções corresponde a uma coluna da matriz inversa A^-1.