A aplicação do método da eliminação de Gauss para calcular a inversa de uma matriz An times n consiste na resolução de n sistemas lineares da forma Ax^j=b^j, j=1, ldots, n, onde os elementos do vetor bj são definidos como:
bi^j=l 1, se i=j 0, se i neq j
e cada vetor solução x^j corresponde à coluna j da matriz inversa.
Determine a inversa da matriz abaixo pelo método da eliminação de Gauss:
A=[cccc 2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada A de ordem 4 times 4 e queremos encontrar a sua inversa usando o método da eliminação de Gauss. Esse método envolve resolver quatro sistemas lineares diferentes, onde cada sistema corresponde a uma coluna da matriz inversa. Para isso, precisamos saber como aplicar a eliminação de Gauss e entender como montar e resolver esses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz inversa. A inversa de uma matriz A, representada por A^-1, é a matriz que, quando multiplicada por A, resulta na matriz identidade I. Ou seja:
A times A^-1 = I
Para encontrar A^-1 usando a eliminação de Gauss, vamos resolver quatro sistemas lineares da forma Ax^j = b^j, onde cada vetor b^j tem 1 na posição j e 0 nas outras posições.

Passo 3

Vamos montar os quatro sistemas lineares. Cada sistema tem a matriz A e um vetor b^j específico:
Para j=1:
Ax^1 = 1 0 0 0
Para j=2:
Ax^2 = 0 1 0 0
Para j=3:
Ax^3 = 0 0 1 0
Para j=4:
Ax^4 = 0 0 0 1
Cada solução x^j será uma coluna da matriz inversa A^-1.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss em cada sistema. Esse método consiste em transformar a matriz aumentada [A|b^j] em uma forma escalonada, facilitando a resolução das incógnitas.
Vamos fazer isso para o primeiro sistema, onde b^1 = [1 0 0 0]^T.
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada:
[cccc|c 2 & -1 & 0 & 0 & 1 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & -1 & 2 & 0 ]
Usamos operações de linha para zerar os elementos abaixo do pivô (primeiro elemento da primeira linha). Repetimos esse processo para cada pivô subsequente até obter uma matriz triangular superior.

Passo 5

Após aplicar a eliminação de Gauss nos quatro sistemas, obtemos as soluções x^1, x^2, x^3 e x^4. Cada uma dessas soluções corresponde a uma coluna da matriz inversa A^-1.
Vamos supor que, após os cálculos, encontramos:
A^-1 = 13 2 & 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 & 2

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = 13 2 & 1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 & 2

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