A aplicação do método da eliminação de Gauss para calcular a inversa de uma matriz consiste na resolução de sistemas lineares da forma , onde os elementos do vetor bj são definidos como:
e cada vetor solução corresponde à coluna da matriz inversa.
Determine a inversa da matriz abaixo pelo método da eliminação de Gauss:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem e queremos encontrar a sua inversa usando o método da eliminação de Gauss. Esse método envolve resolver quatro sistemas lineares diferentes, onde cada sistema corresponde a uma coluna da matriz inversa. Para isso, precisamos saber como aplicar a eliminação de Gauss e entender como montar e resolver esses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz inversa. A inversa de uma matriz , representada por , é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade . Ou seja:
Para encontrar usando a eliminação de Gauss, vamos resolver quatro sistemas lineares da forma , onde cada vetor tem 1 na posição e 0 nas outras posições.
Passo 3
Vamos montar os quatro sistemas lineares. Cada sistema tem a matriz e um vetor específico:
Para :
Para :
Para :
Para :
Cada solução será uma coluna da matriz inversa .
Passo 4
Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss em cada sistema. Esse método consiste em transformar a matriz aumentada em uma forma escalonada, facilitando a resolução das incógnitas.
Vamos fazer isso para o primeiro sistema, onde .
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada:
Usamos operações de linha para zerar os elementos abaixo do pivô (primeiro elemento da primeira linha). Repetimos esse processo para cada pivô subsequente até obter uma matriz triangular superior.
Passo 5
Após aplicar a eliminação de Gauss nos quatro sistemas, obtemos as soluções , , e . Cada uma dessas soluções corresponde a uma coluna da matriz inversa .