Calcule as integrais definidas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos lidando com o cálculo de integrais definidas, que faz parte do estudo de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras básicas de integração para funções polinomiais e funções com potências negativas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso é possível porque a integral da soma (ou subtração) de funções é igual à soma (ou subtração) das integrais dessas funções.
Passo 3
Vamos resolver a primeira parte:
Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Agora, aplicamos a regra da potência para integração, que diz que:
Passo 4
Aplicando essa regra, temos:
Então, a integral da primeira parte é
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda parte:
Podemos reescrever
como
:
Aplicando novamente a regra da potência:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes, a integral completa fica:
Passo 7
Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de integração, de 1 a
:
Isso significa que vamos substituir
por
e depois por 1, e subtrair os resultados:
Passo 8
Calculando cada parte:
Primeiro,
:
E
:
Substituindo de volta:
Passo 9
Simplificando:
Vamos encontrar um denominador comum, que é 48:
Somando e subtraindo: