Calcule as integrais definidas.
integral1^raiz2 x^22-1x^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral1^raiz2 ( x^22 - 1x^5 ) , dx
Aqui, estamos lidando com o cálculo de integrais definidas, que faz parte do estudo de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras básicas de integração para funções polinomiais e funções com potências negativas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral1^raiz2 x^22 , dx - integral1^raiz2 1x^5 , dx
Isso é possível porque a integral da soma (ou subtração) de funções é igual à soma (ou subtração) das integrais dessas funções.

Passo 3

Vamos resolver a primeira parte:
integral x^22 , dx
Podemos tirar a constante 12 integral x^2 , dx para fora da integral:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Agora, aplicamos a regra da potência para integração, que diz que:

Passo 4

Aplicando essa regra, temos:
12 cdot x^33 = x^36
Então, a integral da primeira parte é .

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda parte:
integral 1x^5 , dx
Podemos reescrever integral x^-5 , dx como x^-5+1-5+1 + C = x^-4-4 = -14x^4 :
Aplicando novamente a regra da potência:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes, a integral completa fica:
x^36 - ( -14x^4 ) = x^36 + 14x^4

Passo 7

Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de integração, de 1 a [ x^36 + 14x^4 ]1^raiz2 :
( (raiz2)^36 + 14(raiz2)^4 ) - ( 1^36 + 14 cdot 1^4 )
Isso significa que vamos substituir por e depois por 1, e subtrair os resultados:

Passo 8

Calculando cada parte:
Primeiro, (raiz2)^3 = 2^1.5 = 2 cdot raiz2 :
(raiz2)^4 = (2^0.5)^4 = 2^2 = 4
E 2 cdot raiz26 + 14 cdot 4 - ( 16 + 14 ) :
Substituindo de volta:

Passo 9

Simplificando:
raiz23 + 116 - 16 - 14
Vamos encontrar um denominador comum, que é 48:
16raiz248 + 348 - 848 - 1248
Somando e subtraindo:
16raiz2 + 3 - 8 - 1248 = 16raiz2 - 1748

Resposta

integral1^raiz2 ( x^22 - 1x^5 ) , dx = 16raiz2 - 1748

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