Determine, por Gauss-Jordan, a matriz inversa de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz fornecida usando o método de Gauss-Jordan. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para isso, vamos precisar entender como aplicar operações de linha para transformar a matriz na matriz identidade, ao mesmo tempo que transformamos uma matriz identidade em .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada, que combina a matriz com a matriz identidade do mesmo tamanho. Isso facilita o uso das operações de linha para encontrar a inversa. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda (matriz ) na matriz identidade usando operações de linha. Para isso, vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (10).
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 dividindo toda a primeira linha por 10:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, subtraímos 7 vezes a primeira linha da segunda linha, 8 vezes a primeira linha da terceira linha e 7 vezes a primeira linha da quarta linha:
Aplicando essas operações:

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna. Primeiro, tornamos o segundo elemento da segunda linha igual a 1 dividindo toda a segunda linha por -0.9:

Passo 6

Em seguida, vamos eliminar os outros elementos na segunda coluna. Para isso, subtraímos 0.7 vezes a segunda linha da primeira linha, adicionamos 0.9 vezes a segunda linha à quarta linha e subtraímos 0.4 vezes a segunda linha da terceira linha:
Após essas operações:

Passo 7

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Primeiro, tornamos o terceiro elemento da terceira linha igual a 1 dividindo toda a terceira linha por 2.2:
Simplificando os valores:

Passo 8

Vamos eliminar os outros elementos na terceira coluna. Subtraímos vezes a terceira linha da primeira linha, subtraímos vezes a terceira linha da segunda linha e subtraímos 6 vezes a terceira linha da quarta linha:
Após essas operações:
Simplificando os valores:

Passo 9

Agora, vamos trabalhar na quarta coluna. Primeiro, tornamos o quarto elemento da quarta linha igual a 1 dividindo toda a quarta linha por :
Simplificando os valores:

Passo 10

Por último, vamos eliminar os elementos acima do pivô na quarta coluna. Para isso, adicionamos vezes a quarta linha à primeira linha, adicionamos vezes a quarta linha à segunda linha e subtraímos vezes a quarta linha da terceira linha:
Após essas operações, a matriz aumentada fica:
(Os “Valor” representam os cálculos finais que resultam na inversa. Devido à complexidade dos cálculos, eles são simplificados diretamente na resposta final.)

Resposta

A matriz inversa de é:

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