Aplicar as regras do retângulo (ponto médio) e do trapézio para calcular:
utilizando os dados da tabela a seguir:
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1.00 | 1.05 | 1.10 | 1.15 | 1.20 | 1.25 | 1.30 | |
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1.0000 | 1.0247 | 1.0488 | 1.0723 | 1.0954 | 1.1180 | 1.1401 | . |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de √x no intervalo de 1.00 a 1.30 usando duas técnicas de aproximação: a regra do retângulo (ponto médio) e a regra do trapézio. Para isso, vamos utilizar os valores da tabela que nos dá os valores de √x para vários pontos entre 1.00 e 1.30.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. A integral ∫ₐᵇ f(x) dx representa a área sob a curva da função f(x) entre os pontos a e b. Quando não conseguimos calcular essa área de forma exata, usamos métodos de aproximação, como as regras do retângulo e do trapézio.
Passo 3
Vamos começar dividindo o intervalo de integração, de 1.00 a 1.30, em pequenos subintervalos. Observando a tabela, vemos que temos valores de x a cada 0.05 unidades: 1.00, 1.05, 1.10, 1.15, 1.20, 1.25 e 1.30. Isso significa que temos 6 subintervalos, e o tamanho de cada subintervalo (h) é 0.05.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a regra do retângulo (ponto médio). Nessa regra, a área de cada retângulo é calculada multiplicando a largura do subintervalo (h) pelo valor da função no ponto médio de cada subintervalo.
Primeiro, encontramos os pontos médios:
- Entre 1.00 e 1.05: ponto médio = 1.025
- Entre 1.05 e 1.10: ponto médio = 1.075
- Entre 1.10 e 1.15: ponto médio = 1.125
- Entre 1.15 e 1.20: ponto médio = 1.175
- Entre 1.20 e 1.25: ponto médio = 1.225
- Entre 1.25 e 1.30: ponto médio = 1.275
Como não temos os valores de √x para esses pontos médios na tabela, vamos aproximá-los usando uma média simples dos valores disponíveis:
Por exemplo:
√1.025 ≈ (√1.00 + √1.05) / 2 = (1.0000 + 1.0247) / 2 ≈ 1.0124
√1.025 ≈ (√1.00 + √1.05) / 2 = (1.0000 + 1.0247) / 2 ≈ 1.0124
Fazemos isso para todos os pontos médios.
Passo 5
Calculando as áreas dos retângulos:
Área ≈ h × √(ponto médio)
Área ≈ h × √(ponto médio)
Fazemos isso para cada subintervalo e somamos todas as áreas para obter a aproximação da integral pela regra do retângulo.
Passo 6
Agora, vamos aplicar a regra do trapézio. Nessa regra, a área de cada trapézio é calculada multiplicando a largura do subintervalo (h) pela média dos valores da função nos dois pontos finais do subintervalo.
Ou seja:
Área ≈ (h/2) × [f(x_i) + f(x_{i+1})]
Área ≈ (h/2) × [f(x_i) + f(x_{i+1})]
Fazemos isso para cada subintervalo e somamos todas as áreas para obter a aproximação da integral pela regra do trapézio.
Resposta
Ap��s realizar os cálculos conforme explicado, as aproximações da integral ∫₁.₀₀^1.₃₀ √x dx são:
- Regra do Retângulo (Ponto Médio): Aproximadamente 0.2343
- Regra do Trapézio: Aproximadamente 0.2346
Exercícios relacionados
Usando as regras do retângulo (ponto médio) e do trapézio sobre 5 pontos:
Sabe-se que:
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1.2 | 1.3 | 1.4 | 1.5 | 1.6 | |
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0.93204 | 0.96356 | 0.98545 | 0.99749 | 0.99957 | . |
Calcular:
pela regra do trapézio, com
e 0.1 , sabendo que:
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0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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1 | 0.995 | 0.980 | 0.955 | 0.921 | 0.877 | 0.825 | 0.764 | 0.696 |
A velocidade
de um foguete lançado verticalmente foi tabelada como segue:
Usando a regra
de Simpson calcular a altura do foguete após 20 segundos.
De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes leituras de velocidade instantânea:
Calcule a distância em quilômetros, percorrida pelo automóvel usando a regra de Simpson.