Usando as regras do retângulo (ponto médio) e do trapézio sobre 5 pontos:
integral1.2^1.6 sin x d x
Sabe-se que:
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
sin x 0.93204 0.96356 0.98545 0.99749 0.99957 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de sin x de 1.2 até 1.6 usando as regras dos retângulos (ponto médio) e do trapézio com 5 pontos. Isso faz parte da matéria de cálculo numérico, onde a gente aproxima integrais usando diferentes métodos. Para isso, vamos precisar dos valores de x e de sin x que já estão na tabela:
|c|c|c|c|c|c| hline x & 1.2 & 1.3 & 1.4 & 1.5 & 1.6 hline sin x & 0.93204 & 0.96356 & 0.98545 & 0.99749 & 0.99957 hline

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Regra dos Retângulos (Ponto Médio). Essa regra aproxima a integral calculando a área de retângulos cuja altura é o valor da função no ponto médio de cada intervalo.
  1. Calcular o tamanho de cada subintervalo ( h):
Como vamos de 1.2 até 1.6 com 5 pontos, temos 4 subintervalos:
h = 1.6 - 1.24 = 0.1
  1. Encontrar os pontos médios de cada subintervalo:
Os subintervalos são:
  • [1.2, 1.3] → ponto médio: 1.25
  • [1.3, 1.4] → ponto médio: 1.35
  • [1.4, 1.5] → ponto médio: 1.45
  • [1.5, 1.6] → ponto médio: 1.55
  1. Interpolar ou estimar sin x nos pontos médios:
Como não temos os valores de sin(1.25), sin(1.35), sin(1.45) e sin(1.55) na tabela, podemos aproximar usando os valores mais próximos ou usar uma calculadora para obter esses valores. Para simplificação, vamos supor que:
sin(1.25) approx 0.94898 sin(1.35) approx 0.97570 sin(1.45) approx 0.99277 sin(1.55) approx 0.99943
  1. Calcular a soma das áreas dos retângulos:
Integral approx h [ sin(1.25) + sin(1.35) + sin(1.45) + sin(1.55) ]
Substituindo os valores:
Integral approx 0.1 [ 0.94898 + 0.97570 + 0.99277 + 0.99943 ] Integral approx 0.1 times 3.91688 = 0.391688

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra do Trapézio. Essa regra aproxima a integral calculando a área de trapézios sobre cada subintervalo.
  1. Usar o mesmo tamanho de subintervalo ( h = 0.1).
  2. Aplicar a fórmula da regra do trapézio:
Integral approx h2 [ f(a) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(b) ]
Onde a = 1.2, b = 1.6, e n = 4 subintervalos.
  1. Substituir os valores na fórmula:
Integral approx 0.12 [ sin(1.2) + 2(sin(1.3) + sin(1.4) + sin(1.5)) + sin(1.6) ]
Substituindo os valores da tabela:
Integral approx 0.05 [ 0.93204 + 2(0.96356 + 0.98545 + 0.99749) + 0.99957 ] Integral approx 0.05 [ 0.93204 + 2(2.94650) + 0.99957 ] Integral approx 0.05 [ 0.93204 + 5.89300 + 0.99957 ] Integral approx 0.05 times 7.82461 = 0.3912305

Resposta

  • Usando a Regra dos Retângulos (Ponto Médio): A integral aproximada é 0.3917.
  • Usando a Regra do Trapézio: A integral aproximada é 0.3912.

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