Aplique integral tripla para encontrar o volume do sólido que se encontra acima do cone z^2=x^2+y^2 e dentro da esfera, em CE, rho=2 a cos (phi)
R: pi a^3

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está acima do cone dado por e dentro da esfera definida por . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com formas como esferas e cones.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as coordenadas esféricas:
  • é a distância do ponto à origem.
  • é o ângulo com o eixo .
  • é o ângulo no plano .
No nosso caso:
  • A esfera é dada por .
  • O cone em coordenadas esféricas se transforma em porque .

Passo 3

Vamos definir os limites de integração:
  • varia de 0 até a esfera: .
  • varia do topo do cone até o eixo : .
  • gira ao redor do eixo : .

Passo 4

A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
V = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^2a cos(phi) rho^2 sin(phi) , drho , dphi , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a integral0^2a cos(phi) rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^2a cos(phi) = (2a cos(phi))^33 = 8a^3 cos^3(phi)3 :

Passo 6

Agora, nossa integral se torna:
V = integral0^2pi integral0^pi4 8a^3 cos^3(phi)3 sin(phi) , dphi , dtheta
Podemos fatorar V = 8a^33 integral0^2pi integral0^pi4 cos^3(phi) sin(phi) , dphi , dtheta :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em integral0^pi4 cos^3(phi) sin(phi) , dphi :
- integral1^raiz22 u^3 , du = integralraiz22^1 u^3 , du = [ u^44 ]raiz22^1 = 14 - (raiz22)^44 = 14 - 464 = 14 - 116 = 316
Fazendo a substituição , então . Quando , e quando , .
A integral fica:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão do volume:
V = 8a^33 integral0^2pi 316 , dtheta = 8a^33 cdot 316 cdot 2pi = 8a^33 cdot 316 cdot 2pi
Simplificando:
V = 8a^316 cdot 2pi = a^32 cdot 2pi = a^3 pi

Resposta

O volume do sólido é .

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