Aplique integral tripla para encontrar o volume do sólido que se encontra acima do cone
e dentro da esfera, em CE,
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está acima do cone dado por
e dentro da esfera definida por
. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com formas como esferas e cones.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as coordenadas esféricas:
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo com o eixo . -
é o ângulo no plano .
No nosso caso:
- A esfera é dada por
. - O cone
em coordenadas esféricas se transforma em porque .
Passo 3
Vamos definir os limites de integração:
-
varia de 0 até a esfera: . -
varia do topo do cone até o eixo : . -
gira ao redor do eixo : .
Passo 4
A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, nossa integral se torna:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Fazendo a substituição
, então
. Quando
,
e quando
,
.
A integral fica:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na expressão do volume:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é
.