Por meio de uma integral tripla, encontre o volume da região limitada superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=2 e inferiormente pela superfície z=x^2+y^2
R: pi6(8 raiz2-7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região que está acima da superfície z = x^2 + y^2 e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2. Para isso, vamos usar integrais triplas, que são uma ferramenta da matemática para calcular volumes em três dimensões. Vamos precisar entender como configurar a integral e, provavelmente, usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies. A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2 é uma esfera centrada na origem com raio raiz2. A superfície z = x^2 + y^2 é um paraboloide que abre para cima. Queremos encontrar o volume da região onde o paraboloide está abaixo da esfera.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
  • E a relação x^2 + y^2 = r^2
Assim, a esfera fica r^2 + z^2 = 2 e o paraboloide fica z = r^2.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. Primeiro, precisamos encontrar onde as duas superfícies se encontram. Igualando z = r^2 na esfera:
r^2 + (r^2)^2 = 2 r^2 + r^4 = 2 r^4 + r^2 - 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática em r^2:
u^2 + u - 2 = 0 onde u = r^2 u = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Assim, u = 1 ou u = -2. Como r^2 >= 0, descartamos u = -2 e temos r^2 = 1, então r = 1.

Passo 5

Agora, estabelecemos os limites de integração:
  • theta vai de 0 a 2pi (cobrindo toda a volta ao redor do eixo z).
  • r vai de 0 a 1 (até o ponto de interseção).
  • Para z, ele vai do paraboloide z = r^2 até a esfera z = raiz2 - r^2.

Passo 6

A integral tripla em coordenadas cilíndricas para o volume V é:
V = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^raiz2 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, o r é o fator de escala que vem da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos integrar em ordem. Primeiro, integramos em relação a z:
integralr^2^raiz2 - r^2 r , dz = r [ z ]r^2^raiz2 - r^2 = r ( raiz2 - r^2 - r^2 )

Passo 8

Agora, nossa integral fica:
V = integral0^2pi integral0^1 ( r raiz2 - r^2 - r^3 ) dr , dtheta
Vamos separar em duas integrais:
V = integral0^2pi [ integral0^1 r raiz2 - r^2 , dr - integral0^1 r^3 , dr ] dtheta

Passo 9

Primeiro, resolvemos integral0^1 r raiz2 - r^2 , dr. Fazendo a substituição u = 2 - r^2, então du = -2r , dr, ou seja, -du/2 = r , dr.
Quando r = 0, u = 2; quando r = 1, u = 1.
Assim:
integral0^1 r raiz2 - r^2 , dr = -12 integral2^1 raizu , du = 12 integral1^2 u^1/2 , du = 12 [ 23 u^3/2 ]1^2 = 13 ( 2^3/2 - 1 ) = 13 ( 2raiz2 - 1 )

Passo 10

Agora, resolvemos integral0^1 r^3 , dr:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14

Passo 11

Substituindo de volta na integral original:
V = integral0^2pi ( 13 ( 2raiz2 - 1 ) - 14 ) dtheta = integral0^2pi ( 2raiz2 - 13 - 14 ) dtheta
Vamos combinar as frações:
2raiz2 - 13 - 14 = 4(2raiz2 - 1) - 312 = 8raiz2 - 4 - 312 = 8raiz2 - 712

Passo 12

Finalmente, integramos em relação a theta:
V = integral0^2pi 8raiz2 - 712 , dtheta = 8raiz2 - 712 times 2pi = 8raiz2 - 76 pi = pi6 ( 8raiz2 - 7 )

Resposta

V = dfracpi6(8 raiz2 - 7)

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