Por meio de uma integral tripla, encontre o volume da região limitada superiormente pela esfera
e inferiormente pela superfície
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região que está acima da superfície
e abaixo da esfera
. Para isso, vamos usar integrais triplas, que são uma ferramenta da matemática para calcular volumes em três dimensões. Vamos precisar entender como configurar a integral e, provavelmente, usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies. A esfera
é uma esfera centrada na origem com raio
. A superfície
é um paraboloide que abre para cima. Queremos encontrar o volume da região onde o paraboloide está abaixo da esfera.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
- E a relação
Assim, a esfera fica
e o paraboloide fica
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. Primeiro, precisamos encontrar onde as duas superfícies se encontram. Igualando
na esfera:
Resolvendo essa equação quadrática em
:
Assim,
ou
. Como
, descartamos
e temos
, então
.
Passo 5
Agora, estabelecemos os limites de integração:
-
vai de a (cobrindo toda a volta ao redor do eixo z). -
vai de a (até o ponto de interseção). - Para
, ele vai do paraboloide até a esfera .
Passo 6
A integral tripla em coordenadas cilíndricas para o volume
é:
Aqui, o
é o fator de escala que vem da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos integrar em ordem. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, nossa integral fica:
Vamos separar em duas integrais:
Passo 9
Primeiro, resolvemos
. Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
.
Quando
,
; quando
,
.
Assim:
Passo 10
Agora, resolvemos
:
Passo 11
Substituindo de volta na integral original:
Vamos combinar as frações:
Passo 12
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
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sobre a porção do cilindro
que fica entre os planos
e
R:
Calcule a seguinte integral por C.Cil e por CC:
; em que
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e dentro da esfera, em CE,
Para os sistemas de equaçōes abaixo, calcule e classifique o(s) estado(s) estacionário(s), classifique o comportamento dinâmico e gere o plano de fases.