Por meio de uma integral tripla, encontre o volume da região limitada superiormente pela esfera e inferiormente pela superfície

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região que está acima da superfície e abaixo da esfera . Para isso, vamos usar integrais triplas, que são uma ferramenta da matemática para calcular volumes em três dimensões. Vamos precisar entender como configurar a integral e, provavelmente, usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas superfícies. A esfera é uma esfera centrada na origem com raio . A superfície é um paraboloide que abre para cima. Queremos encontrar o volume da região onde o paraboloide está abaixo da esfera.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • E a relação
Assim, a esfera fica e o paraboloide fica .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. Primeiro, precisamos encontrar onde as duas superfícies se encontram. Igualando na esfera:
Resolvendo essa equação quadrática em :
Assim, ou . Como , descartamos e temos , então .

Passo 5

Agora, estabelecemos os limites de integração:
  • vai de a (cobrindo toda a volta ao redor do eixo z).
  • vai de a (até o ponto de interseção).
  • Para , ele vai do paraboloide até a esfera .

Passo 6

A integral tripla em coordenadas cilíndricas para o volume é:
Aqui, o é o fator de escala que vem da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos integrar em ordem. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, nossa integral fica:
Vamos separar em duas integrais:

Passo 9

Primeiro, resolvemos . Fazendo a substituição , então , ou seja, .
Quando , ; quando , .
Assim:

Passo 10

Agora, resolvemos :

Passo 11

Substituindo de volta na integral original:
Vamos combinar as frações:

Passo 12

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

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