Para os sistemas de equaçōes abaixo, calcule e classifique o(s) estado(s) estacionário(s), classifique o comportamento dinâmico e gere o plano de fases.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais que descreve como duas variáveis,
e
, mudam ao longo do tempo. O conteúdo que estamos lidando envolve sistemas dinâmicos e análise de estados estacionários. Para resolver isso, vamos precisar:
- Encontrar os estados estacionários (onde as variáveis não mudam mais).
- Classificar a estabilidade desses estados.
- Analisar o comportamento dinâmico do sistema.
- Gerar o plano de fases para visualizar como as soluções se comportam.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os estados estacionários. Esses são os pontos onde as derivadas de
e
em relação ao tempo são iguais a zero. Ou seja:
Para que ambas as equações sejam zero simultaneamente, temos duas possibilidades:
Mas precisamos que ambas sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Então, o único ponto que satisfaz ambas as condições é:
Passo 3
Agora, vamos classificar a estabilidade desse estado estacionário. Para isso, vamos linearizar o sistema usando a matriz Jacobiana. A matriz Jacobiana
é composta pelas derivadas parciais das funções em relação a
e
:
Avaliado no ponto
:
Os autovalores são os valores que satisfazem
.
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos interpretar a estabilidade:
-
é negativo, o que indica que na direção correspondente, o sistema é estável. -
indica um comportamento neutro na outra direção.
Como temos um autovalor nulo, a análise linear não é suficiente para determinar completamente a estabilidade. No entanto, dado que o outro autovalor é negativo, podemos inferir que o ponto é não atrativo e não repulsivo, caracterizando-se como um ponto de sela.
Passo 5
Por último, vamos falar sobre o plano de fases. Nesse plano, plotamos
no eixo horizontal e
no vertical. O ponto
é o único ponto estacionário.
- As trajetórias próximas a esse ponto mostrarão que, dependendo das condições iniciais, o sistema pode se mover para longe ou para perto do ponto estacionário.
- Devido ao autovalor negativo, algumas soluções tenderão a se aproximar de
na direção de , enquanto na direção de , devido ao autovalor zero, não há atração ou repulsão.
Resposta
O sistema possui um único estado estacionário em
, que é um ponto de sela. O comportamento dinâmico indica que o ponto é estável na direção de
e neutro na direção de
. O plano de fases revela que as trajetórias podem se direcionar tanto para perto quanto para longe do ponto estacionário, dependendo das condições iniciais.
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