Para os sistemas de equaçōes abaixo, calcule e classifique o(s) estado(s) estacionário(s), classifique o comportamento dinâmico e gere o plano de fases.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais que descreve como duas variáveis, e , mudam ao longo do tempo. O conteúdo que estamos lidando envolve sistemas dinâmicos e análise de estados estacionários. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Encontrar os estados estacionários (onde as variáveis não mudam mais).
  • Classificar a estabilidade desses estados.
  • Analisar o comportamento dinâmico do sistema.
  • Gerar o plano de fases para visualizar como as soluções se comportam.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os estados estacionários. Esses são os pontos onde as derivadas de e em relação ao tempo são iguais a zero. Ou seja:
Para que ambas as equações sejam zero simultaneamente, temos duas possibilidades:
Mas precisamos que ambas sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Então, o único ponto que satisfaz ambas as condições é:

Passo 3

Agora, vamos classificar a estabilidade desse estado estacionário. Para isso, vamos linearizar o sistema usando a matriz Jacobiana. A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais das funções em relação a e :
Avaliado no ponto :
Os autovalores são os valores que satisfazem .
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos interpretar a estabilidade:
  • é negativo, o que indica que na direção correspondente, o sistema é estável.
  • indica um comportamento neutro na outra direção.
Como temos um autovalor nulo, a análise linear não é suficiente para determinar completamente a estabilidade. No entanto, dado que o outro autovalor é negativo, podemos inferir que o ponto é não atrativo e não repulsivo, caracterizando-se como um ponto de sela.

Passo 5

Por último, vamos falar sobre o plano de fases. Nesse plano, plotamos no eixo horizontal e no vertical. O ponto é o único ponto estacionário.
  • As trajetórias próximas a esse ponto mostrarão que, dependendo das condições iniciais, o sistema pode se mover para longe ou para perto do ponto estacionário.
  • Devido ao autovalor negativo, algumas soluções tenderão a se aproximar de na direção de , enquanto na direção de , devido ao autovalor zero, não há atração ou repulsão.

Resposta

O sistema possui um único estado estacionário em , que é um ponto de sela. O comportamento dinâmico indica que o ponto é estável na direção de e neutro na direção de . O plano de fases revela que as trajetórias podem se direcionar tanto para perto quanto para longe do ponto estacionário, dependendo das condições iniciais.

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