Para os sistemas de equaçōes abaixo, calcule e classifique o(s) estado(s) estacionário(s), classifique o comportamento dinâmico e gere o plano de fases.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um sistema de equações diferenciais e descobrir seus estados estacionários, comportamento dinâmico e plano de fases. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e estabilidade. Precisamos entender como resolver sistemas de equações diferenciais e como classificar os pontos de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os estados estacionários. Esses são os pontos onde as taxas de variação de e são zero. Ou seja, resolvemos:

Passo 3

Resolvendo as equações acima:
Então, o único estado estacionário é .

Passo 4

Agora, vamos classificar o comportamento dinâmico desse ponto. Para isso, analisamos os coeficientes das equações:
Ambos os coeficientes são negativos, o que indica que as soluções vão decair para zero conforme o tempo passa.

Passo 5

Como os coeficientes são reais e negativos, o ponto de equilíbrio é um nó estável, ou seja, todas as trajetórias no plano de fases vão convergir para esse ponto. Não há oscilações, apenas decaimento exponencial.

Passo 6

Por fim, vamos falar sobre o plano de fases. Nesse caso, como as duas variáveis são independentes e decaem para zero, o plano de fases mostra setas apontando para o ponto vindas de todas as direções. É como se todas as trajetórias estivessem “afundando” para o ponto de equilíbrio.

Resposta

O sistema possui um único estado estacionário em , que é um nó estável. O comportamento dinâmico mostra que todas as soluções convergem para esse ponto ao longo do tempo. No plano de fases, as trajetórias são setas que apontam para de todas as direções.

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