Para os sistemas de equaçōes abaixo, calcule e classifique o(s) estado(s) estacionário(s), classifique o comportamento dinâmico e gere o plano de fases.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um sistema de equações diferenciais e descobrir seus estados estacionários, comportamento dinâmico e plano de fases. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e estabilidade. Precisamos entender como resolver sistemas de equações diferenciais e como classificar os pontos de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os estados estacionários. Esses são os pontos onde as taxas de variação de
e
são zero. Ou seja, resolvemos:
Passo 3
Resolvendo as equações acima:
Então, o único estado estacionário é
.
Passo 4
Agora, vamos classificar o comportamento dinâmico desse ponto. Para isso, analisamos os coeficientes das equações:
Ambos os coeficientes são negativos, o que indica que as soluções vão decair para zero conforme o tempo passa.
Passo 5
Como os coeficientes são reais e negativos, o ponto de equilíbrio
é um nó estável, ou seja, todas as trajetórias no plano de fases vão convergir para esse ponto. Não há oscilações, apenas decaimento exponencial.
Passo 6
Por fim, vamos falar sobre o plano de fases. Nesse caso, como as duas variáveis são independentes e decaem para zero, o plano de fases mostra setas apontando para o ponto
vindas de todas as direções. É como se todas as trajetórias estivessem “afundando” para o ponto de equilíbrio.
Resposta
O sistema possui um único estado estacionário em
, que é um nó estável. O comportamento dinâmico mostra que todas as soluções convergem para esse ponto ao longo do tempo. No plano de fases, as trajetórias são setas que apontam para
de todas as direções.