Encontre a integral da função sobre a porção do cilindro que fica entre os planos e R:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a integral da função sobre a parte do cilindro que está entre os planos e . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais sobre superfícies, mais especificamente em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar usar a parametrização do cilindro e entender como calcular integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como parametrizar um cilindro. Para o cilindro , podemos usar coordenadas cilíndricas onde:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência, e varia de a conforme o enunciado.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área para o cilindro. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área para uma superfície lateral do cilindro é dado por:
Isso porque o cilindro tem raio , e o elemento de área é o produto do comprimento do arco ( ) pela altura ( ).

Passo 4

A função que vamos integrar �� . Substituindo a parametrização do cilindro, temos:
Então, a integral fica:
Simplificando, isso dá:

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em :
Agora, a integral em :
Sabemos que:
Isso porque tem média sobre um ciclo completo, então .

Passo 6

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão original:
No entanto, percebemos que esquecemos de considerar o fator correto. Na verdade, a integral correta deve incluir o fator da média de , então o resultado final fica:

Resposta

A integral da função sobre a porção do cilindro entre os planos e é:

Exercícios relacionados

Calcule a seguinte integral por C.Cil e por CC: ; em que
Qual a massa de uma bola de raio , cuja densidade em qualquer ponto é proporcional, da ordem de , à distância desse ponto a um plano fixo que passa pela origem. Expresse a integral em CC.
R:
Por meio de uma integral tripla, encontre o volume da região limitada superiormente pela esfera e inferiormente pela superfície
Aplique integral tripla para encontrar o volume do sólido que se encontra acima do cone e dentro da esfera, em CE,