Encontre a integral da função
sobre a porção do cilindro
que fica entre os planos
e
R:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a integral da função
sobre a parte do cilindro
que está entre os planos
e
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais sobre superfícies, mais especificamente em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar usar a parametrização do cilindro e entender como calcular integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como parametrizar um cilindro. Para o cilindro
, podemos usar coordenadas cilíndricas onde:
Aqui,
varia de
a
para cobrir toda a circunferência, e
varia de
a
conforme o enunciado.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
para o cilindro. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área para uma superfície lateral do cilindro é dado por:
Isso porque o cilindro tem raio
, e o elemento de área é o produto do comprimento do arco (
) pela altura (
).
Passo 4
A função que vamos integrar ��
. Substituindo a parametrização do cilindro, temos:
Então, a integral fica:
Simplificando, isso dá:
Passo 5
Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em
:
Agora, a integral em
:
Sabemos que:
Isso porque
tem média
sobre um ciclo completo, então
.
Passo 6
Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão original:
No entanto, percebemos que esquecemos de considerar o fator correto. Na verdade, a integral correta deve incluir o fator
da média de
, então o resultado final fica:
Resposta
A integral da função
sobre a porção do cilindro
entre os planos
e
é: