Aplique o método da bisseç̧ão para obter a menor raiz positiva das equações abaixo com precisão de duas casas decimais.
(b) x^3-cos x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o método da bissecção! A equação é . O método da bissecção é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, os valores de que fazem . Para usar esse método, precisamos de um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde e têm sinais opostos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a nossa função:
f(x) = x^3 - cos x
Precisamos encontrar um intervalo onde e tenham sinais opostos.

Passo 3

Vamos tentar alguns valores de f(0) = 0^3 - cos(0) = -1 para encontrar esse intervalo:
  • Para f(1) = 1^3 - cos(1) approx 1 - 0,5403 = 0,4597 :
  • Para :
Vemos que e . Como os sinais são opostos, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. O processo é o seguinte:
  1. Calcular o ponto médio a = 0, b = 1 .
  2. Avaliar c = 0 + 12 = 0,5 .
  3. Verificar o sinal de f(0,5) = 0,5^3 - cos(0,5) approx 0,125 - 0,8776 = -0,7526 :
    • Se a = 0,5, b = 1 e c = 0,5 + 12 = 0,75 têm sinais opostos, a raiz está em f(0,75) = 0,75^3 - cos(0,75) approx 0,4219 - 0,7317 = -0,3098 .
    • Se a = 0,75, b = 1 e c = 0,75 + 12 = 0,875 têm sinais opostos, a raiz está em f(0,875) = 0,875^3 - cos(0,875) approx 0,6699 - 0,6394 = 0,0305 .
  4. Repetir o processo no intervalo escolhido até que a precisão desejada seja alcançada.
Vamos começar:
  • Primeira iteração:
    a = 0,75, b = 0,875
    c = 0,75 + 0,8752 = 0,8125
    f(0,8125) = 0,8125^3 - cos(0,8125) approx 0,5361 - 0,6874 = -0,1513
    Como a = 0,8125, b = 0,875 e c = 0,8125 + 0,8752 = 0,84375 têm o mesmo sinal, a raiz está em f(0,84375) = 0,84375^3 - cos(0,84375) approx 0,6018 - 0,6603 = -0,0585 .
  • Segunda iteração:
    a = 0,84375, b = 0,875
    c = 0,84375 + 0,8752 = 0,859375
    f(0,859375) = 0,859375^3 - cos(0,859375) approx 0,6353 - 0,6543 = -0,0190
    Novamente, como a = 0,859375, b = 0,875 e c = 0,859375 + 0,8752 = 0,8671875 têm o mesmo sinal, a raiz está em f(0,8671875) = 0,8671875^3 - cos(0,8671875) approx 0,6499 - 0,6521 = -0,0022 .
  • Terceira iteração:
    a = 0,8671875, b = 0,875
    c = 0,8671875 + 0,8752 = 0,87109375
    f(0,87109375) = 0,87109375^3 - cos(0,87109375) approx 0,6587 - 0,6487 = 0,0100
    Agora, e têm sinais opostos, então a raiz está em .
  • Quarta iteração:
    Como e têm sinais opostos, a raiz está em .
  • Quinta iteração:
    Novamente, tem sinais opostos, então a raiz está nesse intervalo.
  • Sexta iteração:
    A raiz está em .
  • Sétima iteração:
    A raiz está em .
  • Oitava iteração:
    Agora, a raiz está em .

Resposta

A menor raiz positiva da equação com precisão de duas casas decimais é aproximadamente .

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