Aplique o método da bisseç̧ão para obter a menor raiz positiva das equações abaixo com precisão de duas casas decimais.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando o método da bissecção! A equação é
. O método da bissecção é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, os valores de
que fazem
. Para usar esse método, precisamos de um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde
e
têm sinais opostos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a nossa função:
Precisamos encontrar um intervalo
onde
e
tenham sinais opostos.
Passo 3
Vamos tentar alguns valores de
para encontrar esse intervalo:
-
Para
: -
Para
:
Vemos que
e
. Como os sinais são opostos, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da bissecção. O processo é o seguinte:
- Calcular o ponto médio
. - Avaliar
. - Verificar o sinal de
: - Se
e têm sinais opostos, a raiz está em . - Se
e têm sinais opostos, a raiz está em .
- Se
- Repetir o processo no intervalo escolhido até que a precisão desejada seja alcançada.
Vamos começar:
-
Primeira iteração:Como
e têm o mesmo sinal, a raiz está em . -
Segunda iteração:Novamente, como
e têm o mesmo sinal, a raiz está em . -
Terceira iteração:Agora,
e têm sinais opostos, então a raiz está em . -
Quarta iteração:Como
e têm sinais opostos, a raiz está em . -
Quinta iteração:Novamente,
tem sinais opostos, então a raiz está nesse intervalo. -
Sexta iteração:A raiz está em
. -
Sétima iteração:A raiz está em
. -
Oitava iteração:Agora, a raiz está em
.
Resposta
A menor raiz positiva da equação
com precisão de duas casas decimais é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Considere a equação não linear:
(a) Determinar, usando o método da Posição Falsa, a raiz positiva com cinco casas decimais corretas;
O problema
pode ser transformado num problema equivalente da forma
. Para o processo iterativo definido por
; analisar a convergência quando:
(b) ,
no intervalo
(b)
no intervalo
Considere a equação não linear:
(b) Determine uma aproximação da ordem de convergência do método da Posição Falsa.
Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas:
;