Aplique o método da bisseç̧ão para obter a menor raiz positiva das equações abaixo com precisão de duas casas decimais.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o método da bissecção! A equação é . O método da bissecção é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, os valores de que fazem . Para usar esse método, precisamos de um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde e têm sinais opostos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a nossa função:
Precisamos encontrar um intervalo onde e tenham sinais opostos.

Passo 3

Vamos tentar alguns valores de para encontrar esse intervalo:
  • Para :
  • Para :
Vemos que e . Como os sinais são opostos, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. O processo é o seguinte:
  1. Calcular o ponto médio .
  2. Avaliar .
  3. Verificar o sinal de :
    • Se e têm sinais opostos, a raiz está em .
    • Se e têm sinais opostos, a raiz está em .
  4. Repetir o processo no intervalo escolhido até que a precisão desejada seja alcançada.
Vamos começar:
  • Primeira iteração:
    Como e têm o mesmo sinal, a raiz está em .
  • Segunda iteração:
    Novamente, como e têm o mesmo sinal, a raiz está em .
  • Terceira iteração:
    Agora, e têm sinais opostos, então a raiz está em .
  • Quarta iteração:
    Como e têm sinais opostos, a raiz está em .
  • Quinta iteração:
    Novamente, tem sinais opostos, então a raiz está nesse intervalo.
  • Sexta iteração:
    A raiz está em .
  • Sétima iteração:
    A raiz está em .
  • Oitava iteração:
    Agora, a raiz está em .

Resposta

A menor raiz positiva da equação com precisão de duas casas decimais é aproximadamente .

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Considere a equação não linear:
(a) Determinar, usando o método da Posição Falsa, a raiz positiva com cinco casas decimais corretas;
O problema pode ser transformado num problema equivalente da forma . Para o processo iterativo definido por ; analisar a convergência quando:
(b) ,
no intervalo
Considere a equação não linear:
(b) Determine uma aproximação da ordem de convergência do método da Posição Falsa.
Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas: ;