Considere a equação não linear:
(b) Determine uma aproximação da ordem de convergência do método da Posição Falsa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar uma aproximação da ordem de convergência do Método da Posição Falsa para a equação não linear . Isso faz parte da matéria de Métodos Numéricos, que ajuda a encontrar raízes de equações quando não conseguimos resolver de forma exata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a ordem de convergência e como ela se aplica ao Método da Posição Falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a ordem de convergência. Basicamente, ela nos diz quão rápido um método numérico se aproxima da solução exata à medida que iteramos o processo. A ordem pode ser:
  • Linear: Converge a uma taxa constante.
  • Quadrática: Converge muito rápido, dobrando a precisão a cada passo.
  • Superlinear ou outras ordens: Taxas intermediárias.
No caso do Método da Posição Falsa, também conhecido como Regula Falsi, ele é semelhante ao Método da Secante, mas garante que a raiz esteja sempre entre os dois pontos iniciais escolhidos. Isso geralmente leva a uma convergência linear.

Passo 3

Para determinar a ordem de convergência, vamos analisar a derivada da função no ponto da raiz. A função dada é:
Derivando em relação a :
Agora, encontramos a raiz real dessa equação, ou seja, o valor de que satisfaz . Aproximadamente, essa raiz é .
Calculando a derivada no ponto da raiz:
A taxa de convergência para métodos como o da Posição Falsa é dada por:
Substituindo os valores:
Como é constante e maior que zero, isso confirma que a ordem de convergência é linear.

Resposta

A ordem de convergência do Método da Posição Falsa para a equação é linear com uma taxa de aproximadamente 1.6736.

Exercícios relacionados

Aplique o método da bisseç̧ão para obter a menor raiz positiva das equações abaixo com precisão de duas casas decimais.
(b) .
Considere a equação não linear:
(a) Determinar, usando o método da Posição Falsa, a raiz positiva com cinco casas decimais corretas;
Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas: ;
Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas: ;