O problema f(x)=x+ln x=00 pode ser transformado num problema equivalente da forma x=phi(x). Para o processo iterativo definido por xk+1=phi(x); analisar a convergência quando:
(b) phi(x)=e^-x,
no intervalo [0.5,0.6]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar a convergência de um processo iterativo definido por , onde , no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é da área de métodos numéricos, especificamente sobre iteração de ponto fixo e convergência de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta nesse intervalo e verificar algumas condições que garantem a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função phi(x) = e^-x phi'(x) = ddx e^-x = -e^-x . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando e é crucial para determinar a convergência do processo iterativo.

Passo 3

Agora, precisamos avaliar o valor absoluto da derivada |phi'(0.5)| = |-e^-0.5| = e^-0.5 approx 0.6065 no intervalo dado |phi'(0.6)| = |-e^-0.6| = e^-0.6 approx 0.5488 . Isso nos dirá se a função é uma contração nesse intervalo, o que é uma condição importante para garantir a convergência.
Calculando em :
E em :

Passo 4

Observamos que varia entre aproximadamente 0.5488 e 0.6065 no intervalo . Como todos esses valores são menores que 1, isso significa que a função é uma contração nesse intervalo. Uma função contração tem a propriedade de aproximar os pontos mais próximos à medida que iteramos, o que é essencial para a convergência.

Passo 5

Por fim, já que é uma contração no intervalo , de acordo com o Teorema do Ponto Fixo de Banach, o processo iterativo definido por vai convergir para um único ponto fixo dentro desse intervalo. Ou seja, independente do ponto inicial que escolhermos dentro de , as iterações vão se aproximar cada vez mais desse ponto fixo.

Resposta

O processo iterativo definido por converge para um ponto fixo no intervalo .

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