O problema
pode ser transformado num problema equivalente da forma
. Para o processo iterativo definido por
; analisar a convergência quando:
(b)
,
no intervalo
(b)
no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar a convergência de um processo iterativo definido por
, onde
, no intervalo
. O conteúdo que vamos usar aqui é da área de métodos numéricos, especificamente sobre iteração de ponto fixo e convergência de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função
se comporta nesse intervalo e verificar algumas condições que garantem a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando e é crucial para determinar a convergência do processo iterativo.
Passo 3
Agora, precisamos avaliar o valor absoluto da derivada
no intervalo dado
. Isso nos dirá se a função
é uma contração nesse intervalo, o que é uma condição importante para garantir a convergência.
Calculando em
:
E em
:
Passo 4
Observamos que
varia entre aproximadamente 0.5488 e 0.6065 no intervalo
. Como todos esses valores são menores que 1, isso significa que a função
é uma contração nesse intervalo. Uma função contração tem a propriedade de aproximar os pontos mais próximos à medida que iteramos, o que é essencial para a convergência.
Passo 5
Por fim, já que
é uma contração no intervalo
, de acordo com o Teorema do Ponto Fixo de Banach, o processo iterativo definido por
vai convergir para um único ponto fixo dentro desse intervalo. Ou seja, independente do ponto inicial que escolhermos dentro de
, as iterações vão se aproximar cada vez mais desse ponto fixo.
Resposta
O processo iterativo definido por
converge para um ponto fixo no intervalo
.