Considere a equação não linear:
x-cos x=0
(a) Determinar, usando o método da Posição Falsa, a raiz positiva com cinco casas decimais corretas;

Passo 1

Vamos resolver a equação não linear . O conteúdo que vamos utilizar é o Método da Posição Falsa, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de equações. Para aplicar esse método, precisamos escolher dois pontos iniciais que “abram” a raiz, ou seja, onde a função muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, definimos a função . Nosso objetivo é encontrar o valor de onde . Vamos verificar os valores de em alguns pontos para identificar um intervalo onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.

Passo 3

Calculamos e . Como e , sabemos que há uma raiz no intervalo .

Passo 4

Aplicamos a fórmula do Método da Posição Falsa:
xaprox = xr - f(xr) times xl - xrf(xl) - f(xr)
onde e .

Passo 5

Substituímos os valores na fórmula:
xaprox = 1 - 0.4597 times 0 - 1-1 - 0.4597 approx 1 - 0.4597 times -1-1.4597 approx 1 - 0.4597 times 0.6857 approx 1 - 0.3147 = 0.6853

Passo 6

Verificamos o sinal de f(0.6853) = 0.6853 - cos(0.6853) approx 0.6853 - 0.7723 = -0.0870 :
Como , a raiz está entre e .

Passo 7

Repetimos o processo com f(0.6853) approx -0.0870 e f(1) approx 0.4597 e xaprox = 1 - 0.4597 times 0.6853 - 1-0.0870 - 0.4597 approx 1 - 0.4597 times -0.3147-0.5467 approx 1 - 0.4597 times 0.5762 approx 1 - 0.2645 = 0.7355 :

Passo 8

Continuamos iterando esse processo até que a diferença entre as aproximações seja menor que . Após várias iterações, chegamos ao valor aproximado da raiz com cinco casas decimais corretas.

Resposta

A raiz positiva da equação utilizando o Método da Posição Falsa é aproximadamente .

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