Aplique o Método da Bissecção para resolver:
(b) ;

Passo 1

Vamos resolver a equação usando o Método da Bissecção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. Para isso, precisamos identificar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Assim, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função:
Queremos encontrar tal que .

Passo 3

Precisamos escolher um intervalo onde e têm sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Aqui, e . Como os sinais são opostos, sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 4

Agora, aplicamos o Método da Bissecção:
  1. Calculamos o ponto médio do intervalo :
  2. Calculamos :
  3. Verificamos o sinal de :
    • Como e , a raiz está no intervalo .
  4. Repetimos o processo com o novo intervalo :
    • Calculamos o novo ponto médio:
    • Calculamos :
    • Novamente, , então a raiz está no intervalo .

Passo 5

Continuando as iterações até obtermos uma aproximação satisfatória:
  1. Intervalo :
    • Agora, , então a raiz está em .
  2. Intervalo :
    • , raiz em .
  3. Intervalo :
    • , raiz em .
  4. Intervalo :
    • , raiz em .
Após várias iterações, percebemos que a raiz está se aproximando de .

Resposta

Aproximadamente, a raiz da equação está em .

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Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma única raiz e que em cada caso a raiz está no intervalo .
(a) ;
Seja o espaço vetorial . Prove que são métricas, para cada e em , as seguintes funções
. (metrica da soma).
Aplique o Método da Bissecção para resolver:
(a) ;
Considere o problema de resolver a equação via Método Iterativo Linear (MIL), a qual possui uma única solução no intervalo . Qual das funções de iteração a seguir pode ser utilizada com garantia de convergência? Justifique sua resposta.
(a) ;