Aplique o Método da Bissecção para resolver:
(b)
;
(b)
Passo 1
Vamos resolver a equação
usando o Método da Bissecção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. Para isso, precisamos identificar um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Assim, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função:
Queremos encontrar
tal que
.
Passo 3
Precisamos escolher um intervalo
onde
e
têm sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
- Para
: - Para
:
Aqui,
e
. Como os sinais são opostos, sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 4
Agora, aplicamos o Método da Bissecção:
-
Calculamos o ponto médio
do intervalo : -
Calculamos
: -
Verificamos o sinal de
: - Como
e , a raiz está no intervalo .
- Como
-
Repetimos o processo com o novo intervalo
: - Calculamos o novo ponto médio:
- Calculamos
: - Novamente,
, então a raiz está no intervalo .
- Calculamos o novo ponto médio:
Passo 5
Continuando as iterações até obtermos uma aproximação satisfatória:
-
Intervalo
: -
-
- Agora,
, então a raiz está em .
-
-
Intervalo
: -
-
-
, raiz em .
-
-
Intervalo
: -
-
-
, raiz em .
-
-
Intervalo
: -
-
-
, raiz em .
-
Após várias iterações, percebemos que a raiz está se aproximando de
.
Resposta
Aproximadamente, a raiz da equação
está em
.
Exercícios relacionados
Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma única raiz e que em cada caso a raiz está no intervalo
.
(a) ;
(a)
Seja o espaço vetorial
. Prove que são métricas, para cada
e
em
, as seguintes funções
. (metrica da soma).
Aplique o Método da Bissecção para resolver:
(a) ;
(a)
Considere o problema de resolver a equação
via Método Iterativo Linear (MIL), a qual possui uma única solução no intervalo
. Qual das funções de iteração a seguir pode ser utilizada com garantia de convergência? Justifique sua resposta.
(a) ;
(a)