Aplique o Método da Bissecção para resolver:
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer resolver a equação
usando o Método da Bissecção. Esse método pertence à área de Análise Numérica, que ajuda a encontrar soluções aproximadas para equações que podem ser difíceis de resolver exatamente. Para isso, vamos precisar identificar um intervalo onde a função muda de sinal, garantindo que há uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos igualar a zero:
Nossa meta é encontrar o valor de
que faz
.
Passo 3
O Método da Bissecção requer que a função mude de sinal no intervalo escolhido. Vamos escolher dois valores,
e
, e verificar se
e
têm sinais opostos.
Vamos testar
:
Agora, vamos testar
:
Como
e
, temos que
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1].
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção. O método funciona dividindo o intervalo ao meio e verificando em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetimos esse processo até alcançarmos a precisão desejada.
Primeiro, calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
e
, a raiz está no intervalo [0.5, 1].
Passo 5
Repetimos o processo com o novo intervalo [0.5, 1]:
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Agora,
e
, então a raiz está no intervalo [0.5, 0.75].
Passo 6
Continuamos com o intervalo [0.5, 0.75]:
Ponto médio:
Calculamos
:
Como
está muito próximo de zero e é negativo, ajustamos o intervalo para [0.5, 0.625].
Passo 7
Mais uma iteração com o intervalo [0.5, 0.625]:
Ponto médio:
Calculamos
:
Agora,
e
, então a raiz está no intervalo [0.5625, 0.625].
Passo 8
Continuando com [0.5625, 0.625]:
Ponto médio:
Calculamos
:
Como
e
, a raiz está no intervalo [0.59375, 0.625].
Passo 9
Mais uma vez com [0.59375, 0.625]:
Ponto médio:
Calculamos
:
Agora,
e
, então a raiz está no intervalo [0.609375, 0.625].
Passo 10
Finalmente, com [0.609375, 0.625]:
Ponto médio:
Calculamos
:
Como a diferença está muito próxima de zero, podemos considerar que a raiz está aproximadamente em
.
Resposta
A raiz da equação
aproximadamente é
.
Exercícios relacionados
Aplique o Método da Bissecção para resolver:
(b) ;
(b)
Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma única raiz e que em cada caso a raiz está no intervalo
.
(a) ;
(a)
Considere o problema de resolver a equação
via Método Iterativo Linear (MIL), a qual possui uma única solução no intervalo
. Qual das funções de iteração a seguir pode ser utilizada com garantia de convergência? Justifique sua resposta.
(a) ;
(a)
Interprete geometricamente e escreva um algoritmo para o Método da Bisseção.