Aplique o Método da Bissecção para resolver:
(a) e^x-3 x=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer resolver a equação usando o Método da Bissecção. Esse método pertence à área de Análise Numérica, que ajuda a encontrar soluções aproximadas para equações que podem ser difíceis de resolver exatamente. Para isso, vamos precisar identificar um intervalo onde a função muda de sinal, garantindo que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos igualar a zero:
f(x) = e^x - 3x
Nossa meta é encontrar o valor de que faz .

Passo 3

O Método da Bissecção requer que a função mude de sinal no intervalo escolhido. Vamos escolher dois valores, f(0) = e^0 - 3 times 0 = 1 - 0 = 1 e f(1) = e^1 - 3 times 1 approx 2.718 - 3 = -0.282 , e verificar se e têm sinais opostos.
Vamos testar :
Agora, vamos testar :
Como e , temos que e têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1].

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção. O método funciona dividindo o intervalo ao meio e verificando em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetimos esse processo até alcançarmos a precisão desejada.
Primeiro, calculamos o ponto médio:
c = a + b2 = 0 + 12 = 0.5
Calculamos f(0.5) = e^0.5 - 3 times 0.5 approx 1.6487 - 1.5 = 0.1487 :
Como e , a raiz está no intervalo [0.5, 1].

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo [0.5, 1]:
Calculamos o ponto médio:
c = 0.5 + 12 = 0.75
Calculamos f(0.75) = e^0.75 - 3 times 0.75 approx 2.117 - 2.25 = -0.133 :
Agora, e , então a raiz está no intervalo [0.5, 0.75].

Passo 6

Continuamos com o intervalo [0.5, 0.75]:
Ponto médio:
c = 0.5 + 0.752 = 0.625
Calculamos f(0.625) = e^0.625 - 3 times 0.625 approx 1.868 - 1.875 = -0.007 :
Como está muito próximo de zero e é negativo, ajustamos o intervalo para [0.5, 0.625].

Passo 7

Mais uma iteração com o intervalo [0.5, 0.625]:
Ponto médio:
c = 0.5 + 0.6252 = 0.5625
Calculamos f(0.5625) = e^0.5625 - 3 times 0.5625 approx 1.755 - 1.6875 = 0.0675 :
Agora, e , então a raiz está no intervalo [0.5625, 0.625].

Passo 8

Continuando com [0.5625, 0.625]:
Ponto médio:
c = 0.5625 + 0.6252 = 0.59375
Calculamos f(0.59375) = e^0.59375 - 3 times 0.59375 approx 1.810 - 1.781 = 0.029 :
Como e , a raiz está no intervalo [0.59375, 0.625].

Passo 9

Mais uma vez com [0.59375, 0.625]:
Ponto médio:
c = 0.59375 + 0.6252 = 0.609375
Calculamos f(0.609375) = e^0.609375 - 3 times 0.609375 approx 1.840 - 1.828 = 0.012 :
Agora, e , então a raiz está no intervalo [0.609375, 0.625].

Passo 10

Finalmente, com [0.609375, 0.625]:
Ponto médio:
c = 0.609375 + 0.6252 = 0.6171875
Calculamos f(0.6171875) = e^0.6171875 - 3 times 0.6171875 approx 1.855 - 1.8516 = 0.0034 :
Como a diferença está muito próxima de zero, podemos considerar que a raiz está aproximadamente em .

Resposta

A raiz da equação aproximadamente é .

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