Considere o problema de resolver a equação via Método Iterativo Linear (MIL), a qual possui uma única solução no intervalo . Qual das funções de iteração a seguir pode ser utilizada com garantia de convergência? Justifique sua resposta.
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Passo 1
Vamos resolver a equação usando o Método Iterativo Linear (MIL). Esse método ajuda a encontrar soluções de equações de forma aproximada. Precisamos verificar se a função de iteração garante a convergência para a solução no intervalo .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método Iterativo Linear (MIL). É uma técnica que transforma a equação original em uma forma e, então, utiliza essa nova forma para aproximar a solução iterativamente. Para que o MIL funcione, a função precisa ser contínua no intervalo considerado, e a derivada de em módulo deve ser menor que 1 nesse intervalo.
Passo 3
Vamos verificar se é contínua no intervalo . A função logaritmo natural é contínua para , então também é contínua nesse intervalo.
Passo 4
Agora, calculamos a derivada de :
Em seguida, avaliamos o módulo da derivada no intervalo :
No intervalo, varia de 0.5 a 0.6, então:
Isso significa que varia entre aproximadamente 1.6667 e 2, que são valores maiores que 1.
Passo 5
Como o módulo da derivada é maior que 1 no intervalo , a função não satisfaz a condição necessária para garantir a convergência do método iterativo.
Resposta
A função de iteração não pode ser utilizada com garantia de convergência no Método Iterativo Linear para resolver a equação no intervalo .