Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma única raiz e que em cada caso a raiz está no intervalo
.
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a equação
tem exatamente uma única solução (ou raiz) e que essa solução está no intervalo entre 0.5 e 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e a regra de Bolzano, que ajuda a identificar onde uma função cruza o eixo x.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função envolvida na equação. Vamos chamar:
Queremos encontrar onde
.
Passo 3
Para aplicar a regra de Bolzano, a função precisa ser contínua no intervalo que estamos analisando, que no caso é [0.5, 1]. Tanto
quanto
são funções contínuas no intervalo (0, ∞), então
também é contínua em [0.5, 1].
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores de
nos extremos do intervalo para ver se há mudança de sinal, o que indicaria a presença de uma raiz dentro desse intervalo.
Para
:
Para
:
Passo 5
Observamos que
é aproximadamente -0.4431 (negativo) e
é 1 (positivo). Como a função é contínua e passou de valor negativo para positivo, pelo teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo [0.5, 1].
Passo 6
Para garantir que há exatamente uma única raiz, vamos analisar a monotonicidade da função, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo nesse intervalo. Vamos calcular a derivada de
:
Passo 7
Vamos verificar o sinal de
no intervalo [0.5, 1]:
Para qualquer
,
e
. Portanto,
é sempre positivo nesse intervalo, o que significa que a função
está sempre aumentando entre 0.5 e 1.
Passo 8
Como a função está sempre aumentando e passamos de negativo a positivo, isso garante que a função cruza o eixo x exatamente uma vez nesse intervalo. Portanto, existe uma única raiz em [0.5, 1].
Resposta
A equação
possui exatamente uma única raiz no intervalo [0.5, 1].
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. Prove que são métricas, para cada
e
em
, as seguintes funções
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(b) ;
(b)
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(a) ;
(a)