Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma única raiz e que em cada caso a raiz está no intervalo [0.5,1].
(a) x^2+ln (x)=0;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a equação tem exatamente uma única solução (ou raiz) e que essa solução está no intervalo entre 0.5 e 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e a regra de Bolzano, que ajuda a identificar onde uma função cruza o eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função envolvida na equação. Vamos chamar:
f(x) = x^2 + ln(x)
Queremos encontrar onde .

Passo 3

Para aplicar a regra de Bolzano, a função precisa ser contínua no intervalo que estamos analisando, que no caso é [0.5, 1]. Tanto quanto são funções contínuas no intervalo (0, ∞), então também é contínua em [0.5, 1].

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores de f(0.5) = (0.5)^2 + ln(0.5) = 0.25 + (-0.6931) approx -0.4431 nos extremos do intervalo para ver se há mudança de sinal, o que indicaria a presença de uma raiz dentro desse intervalo.
Para f(1) = 1^2 + ln(1) = 1 + 0 = 1 :
Para :

Passo 5

Observamos que é aproximadamente -0.4431 (negativo) e é 1 (positivo). Como a função é contínua e passou de valor negativo para positivo, pelo teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo [0.5, 1].

Passo 6

Para garantir que há exatamente uma única raiz, vamos analisar a monotonicidade da função, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo nesse intervalo. Vamos calcular a derivada de f'(x) = 2x + 1x :

Passo 7

Vamos verificar o sinal de no intervalo [0.5, 1]:
Para qualquer , e . Portanto, é sempre positivo nesse intervalo, o que significa que a função está sempre aumentando entre 0.5 e 1.

Passo 8

Como a função está sempre aumentando e passamos de negativo a positivo, isso garante que a função cruza o eixo x exatamente uma vez nesse intervalo. Portanto, existe uma única raiz em [0.5, 1].

Resposta

A equação possui exatamente uma única raiz no intervalo [0.5, 1].

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