Seja o espaço vetorial R^n. Prove que são métricas, para cada x=(x1, y2, ldots, xn) e y=(y1, y2, ldots, yn) em R^n, as seguintes funções
d^prime prime(x, y)=max 1 <= i <= n|x1-y1|,|x2-y2|, ldots,|xn-yn|. (metrica da soma).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é provar que a função d''(x, y) = max |x1 - y1|, |x2 - y2|, ldots, |xn - yn| definida em por
é de fato uma métrica. Para isso, vamos revisar o que é uma métrica e checar se essa função satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma métrica. Em matemática, especialmente em espaços vetoriais como , uma métrica é uma função que mede a “distância” entre dois pontos nesse espaço. Para uma função ser considerada uma métrica, ela precisa cumprir quatro propriedades fundamentais:
  1. Não-negatividade: A distância entre dois pontos nunca é negativa.
  2. Identidade dos indiscerníveis: A distância entre dois pontos é zero se e somente se os pontos forem iguais.
  3. Simetria: A distância de para é a mesma que de para .
  4. Desigualdade triangular: A distância direta de para é sempre menor ou igual à soma das distâncias de para e de para .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função .

Passo 3

1. Não-negatividade
A função d''(x, y) >= 0 pega o máximo das diferenças absolutas entre as coordenadas correspondentes de e . Sabemos que o valor absoluto de qualquer número é sempre maior ou igual a zero. Portanto, cada termo . Como o máximo de números não-negativos também é não-negativo, temos:
Conclusão: A propriedade da não-negatividade está satisfeita.

Passo 4

2. Identidade dos indiscerníveis
Queremos mostrar que se e somente se .
  • Se : Todas as coordenadas são iguais, ou seja, para todo . Assim, para todo , e o máximo de zeros é zero. Logo, .
  • Se : O máximo das diferenças absolutas entre as coordenadas é zero. Isso só acontece se cada , ou seja, para todo . Portanto, .
Conclusão: A propriedade da identidade dos indiscerníveis está satisfeita.

Passo 5

3. Simetria
Precisamos mostrar que d''(x, y) = max |x1 - y1|, |x2 - y2|, ldots, |xn - yn| .
A função d''(y, x) = max |y1 - x1|, |y2 - x2|, ldots, |yn - xn| = d''(x, y) é definida como o máximo das diferenças absolutas:
Note que para todo , já que o valor absoluto não se importa com a ordem. Portanto,
Conclusão: A propriedade da simetria está satisfeita.

Passo 6

4. Desigualdade triangular
Precisamos provar que para quaisquer d''(x, z) <= d''(x, y) + d''(y, z) :
|xi - zi| = |xi - yi + yi - zi| <= |xi - yi| + |yi - zi|
Vamos analisar cada coordenada. Para cada |xi - zi| <= d''(x, y) + d''(y, z) :
d''(x, z) <= d''(x, y) + d''(y, z)
Isso é pelo princípio da desigualdade triangular para valores absolutos.
Como é o máximo de e é o máximo de , então para cada :
Portanto, o máximo de também será menor ou igual a :
Conclusão: A propriedade da desigualdade triangular está satisfeita.

Resposta

Como todas as propriedades necessárias foram verificadas, concluímos que é de fato uma métrica no espaço vetorial .

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