Seja o espaço vetorial
. Prove que são métricas, para cada
e
em
, as seguintes funções
. (metrica da soma).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é provar que a função
definida em
por
é de fato uma métrica. Para isso, vamos revisar o que é uma métrica e checar se essa função satisfaz todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma métrica. Em matemática, especialmente em espaços vetoriais como
, uma métrica é uma função que mede a “distância” entre dois pontos nesse espaço. Para uma função ser considerada uma métrica, ela precisa cumprir quatro propriedades fundamentais:
- Não-negatividade: A distância entre dois pontos nunca é negativa.
- Identidade dos indiscerníveis: A distância entre dois pontos é zero se e somente se os pontos forem iguais.
- Simetria: A distância de
para é a mesma que de para . - Desigualdade triangular: A distância direta de
para é sempre menor ou igual à soma das distâncias de para e de para .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
.
Passo 3
1. Não-negatividade
A função
pega o máximo das diferenças absolutas entre as coordenadas correspondentes de
e
. Sabemos que o valor absoluto de qualquer número é sempre maior ou igual a zero. Portanto, cada termo
. Como o máximo de números não-negativos também é não-negativo, temos:
Conclusão: A propriedade da não-negatividade está satisfeita.
Passo 4
2. Identidade dos indiscerníveis
Queremos mostrar que
se e somente se
.
-
Se
: Todas as coordenadas são iguais, ou seja, para todo . Assim, para todo , e o máximo de zeros é zero. Logo, . -
Se
: O máximo das diferenças absolutas entre as coordenadas é zero. Isso só acontece se cada , ou seja, para todo . Portanto, .
Conclusão: A propriedade da identidade dos indiscerníveis está satisfeita.
Passo 5
3. Simetria
Precisamos mostrar que
.
A função
é definida como o máximo das diferenças absolutas:
Note que
para todo
, já que o valor absoluto não se importa com a ordem. Portanto,
Conclusão: A propriedade da simetria está satisfeita.
Passo 6
4. Desigualdade triangular
Precisamos provar que para quaisquer
:
Vamos analisar cada coordenada. Para cada
:
Isso é pelo princípio da desigualdade triangular para valores absolutos.
Como
é o máximo de
e
é o máximo de
, então para cada
:
Portanto, o máximo de
também será menor ou igual a
:
Conclusão: A propriedade da desigualdade triangular está satisfeita.
Resposta
Como todas as propriedades necessárias foram verificadas, concluímos que
é de fato uma métrica no espaço vetorial
.