Interprete geometricamente e escreva um algoritmo para o Método da Bisseção.
Passo 1
Então, o exercício pede para a gente entender de forma geométrica o Método da Bisseção e também escrever um algoritmo para ele. Esse método é usado para encontrar raízes de funções, ou seja, os valores de
que fazem
. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções contínuas e como podemos usar intervalos para localizar onde a raiz está.
Passo 2
Primeiro, vamos falar um pouco sobre a parte geométrica. Imagine o gráfico de uma função
que cruza o eixo
. O ponto onde isso acontece é a raiz da função. O Método da Bisseção ajuda a encontrar esse ponto dividindo o intervalo onde sabemos que a raiz está pela metade repetidamente até chegarmos perto o suficiente da raiz.
Passo 3
Para aplicar o Método da Bisseção, a função precisa ser contínua no intervalo que estamos analisando e, além disso, os valores da função nas extremidades do intervalo devem ter sinais opostos. Isso significa que, se
é positivo e
é negativo, existe pelo menos uma raiz entre
e
devido ao Teorema de Bolzano.
Passo 4
Agora, vamos pensar no algoritmo. A ideia é:
- Escolher um intervalo
onde e têm sinais opostos. - Calcular o ponto médio
. - Verificar o sinal de
: - Se
, encontramos a raiz. - Se
tem o mesmo sinal de , substituímos por . - Se
tem o mesmo sinal de , substituímos por .
- Se
- Repetir esse processo até que a diferença entre
e seja menor que uma tolerância pré-definida.
Passo 5
Vamos detalhar a parte do algoritmo em si. Vamos precisar de:
- Função
. - Intervalo inicial
. - Tolerância para parar o algoritmo.
- Número máximo de iterações para evitar loops infinitos.
Passo 6
Agora, vamos escrever o algoritmo em pseudocódigo para ficar mais claro:
def metodo_da_bissecao(f, a, b, tolerancia, max_iter):
if f(a) * f(b) >= 0:
print("O Método da Bisseção não pode ser aplicado.")
return None
for i in range(max_iter):
c = (a + b) / 2
if f(c) == 0 or (b - a) / 2 < tolerancia:
return c
if f(c) * f(a) < 0:
b = c
else:
a = c
print("Número máximo de iterações alcançado.")
return c
Resposta
O Método da Bisseção, interpretado geometricamente, usa a continuidade da função e a mudança de sinal no intervalo para localizar a raiz dividindo o intervalo pela metade repetidamente. O algoritmo em pseudocódigo para esse método foi apresentado acima.
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(a) ;
(a)
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(a) ;
(a)
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(a)
(a)