Interprete geometricamente e escreva um algoritmo para o Método da Bisseção.

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente entender de forma geométrica o Método da Bisseção e também escrever um algoritmo para ele. Esse método é usado para encontrar raízes de funções, ou seja, os valores de que fazem . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções contínuas e como podemos usar intervalos para localizar onde a raiz está.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre a parte geométrica. Imagine o gráfico de uma função que cruza o eixo . O ponto onde isso acontece é a raiz da função. O Método da Bisseção ajuda a encontrar esse ponto dividindo o intervalo onde sabemos que a raiz está pela metade repetidamente até chegarmos perto o suficiente da raiz.

Passo 3

Para aplicar o Método da Bisseção, a função precisa ser contínua no intervalo que estamos analisando e, além disso, os valores da função nas extremidades do intervalo devem ter sinais opostos. Isso significa que, se é positivo e é negativo, existe pelo menos uma raiz entre e devido ao Teorema de Bolzano.

Passo 4

Agora, vamos pensar no algoritmo. A ideia é:
  1. Escolher um intervalo onde e têm sinais opostos.
  2. Calcular o ponto médio .
  3. Verificar o sinal de :
    • Se , encontramos a raiz.
    • Se tem o mesmo sinal de , substituímos por .
    • Se tem o mesmo sinal de , substituímos por .
  4. Repetir esse processo até que a diferença entre e seja menor que uma tolerância pré-definida.

Passo 5

Vamos detalhar a parte do algoritmo em si. Vamos precisar de:
  • Função .
  • Intervalo inicial .
  • Tolerância para parar o algoritmo.
  • Número máximo de iterações para evitar loops infinitos.

Passo 6

Agora, vamos escrever o algoritmo em pseudocódigo para ficar mais claro:
def metodo_da_bissecao(f, a, b, tolerancia, max_iter):
    if f(a) * f(b) >= 0:
        print("O Método da Bisseção não pode ser aplicado.")
        return None
    for i in range(max_iter):
        c = (a + b) / 2
        if f(c) == 0 or (b - a) / 2 < tolerancia:
            return c
        if f(c) * f(a) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
    print("Número máximo de iterações alcançado.")
    return c

Resposta

O Método da Bisseção, interpretado geometricamente, usa a continuidade da função e a mudança de sinal no intervalo para localizar a raiz dividindo o intervalo pela metade repetidamente. O algoritmo em pseudocódigo para esse método foi apresentado acima.

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