Aplique o Método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial para resolver o sistema linear abaixo. Você deve efetuar apenas as trocas de linhas necessárias para o pivoteamento, sem efetuar trocas adicionais. Indique em sua resposta os coeficientes e termos independentes do sistema obtido após todas as etapas do escalonamento. Sua resposta deve também indicar a solução do sistema. Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. O sistema que temos é:
Vamos precisar manipular essa matriz para chegar na forma escalonada e, enfim, encontrar as soluções. Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema:
O próximo passo é começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô, que é o elemento 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12 2 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 na posição . Mas antes disso, vamos verificar se precisamos trocar alguma linha para ter o maior valor absoluto na primeira coluna (isso é o pivoteamento parcial).
Observando a primeira coluna, os valores são , , , e . O maior valor absoluto é , que está na quarta linha. Então, vamos trocar a primeira linha com a quarta linha.
Após a troca:
Passo 3
Agora, vamos usar o primeiro elemento da primeira linha ( Linha 2 = Linha 2 - 0,5 times Linha 1 ) como pivô para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Para a segunda linha ( 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12 0 & -2,5 & 1 & -1,5 & | & -5 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 ), calculamos o fator e subtraímos vezes a primeira linha da segunda linha:
Passo 4
Para a terceira linha ( Linha 3 = Linha 3 - 0,75 times Linha 1 ), o fator é 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12 0 & -2,5 & 1 & -1,5 & | & -5 0 & -0,25 & -4,5 & -2,75 & | & -5 2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 . Subtraímos vezes a primeira linha da terceira linha:
Passo 5
Para a quarta linha ( Linha 4 = Linha 4 - 0,5 times Linha 1 ), o fator é 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12 0 & -2,5 & 1 & -1,5 & | & -5 0 & -0,25 & -4,5 & -2,75 & | & -5 0 & 0,5 & 0 & 0,5 & | & 1 . Subtraímos vezes a primeira linha da quarta linha:
Passo 6
Agora, vamos para o segundo pivô, que está na posição Linha 3 = Linha 3 - 0,1 times Linha 2 com valor 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12 0 & -2,5 & 1 & -1,5 & | & -5 0 & 0 & -4,4 & -2,6 & | & -4,5 0 & 0,5 & 0 & 0,5 & | & 1 . Não precisamos trocar linhas aqui, já que não há outro valor na segunda coluna que seja maior em módulo abaixo.
Vamos usar para eliminar os elementos abaixo dele na segunda coluna.
Para a terceira linha (), o fator é . Subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
Passo 7
Para a quarta linha ( Linha 4 = Linha 4 + 0,2 times Linha 2 na segunda coluna), o fator é 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12 0 & -2,5 & 1 & -1,5 & | & -5 0 & 0 & -4,4 & -2,6 & | & -4,5 0 & 0 & 0,2 & 0,2 & | & 0 . Subtraímos vezes a segunda linha da quarta linha:
Passo 8
Agora, vamos para o terceiro pivô, que está na posição Linha 4 = Linha 4 + 0,0455 times Linha 3 com valor 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12 0 & -2,5 & 1 & -1,5 & | & -5 0 & 0 & -4,4 & -2,6 & | & -4,5 0 & 0 & 0 & 0,1 & | & -0,2 . Não há necessidade de trocar linhas aqui.
Vamos usar para eliminar o elemento abaixo dele na terceira coluna.
Para a quarta linha (), o fator é . Subtraímos vezes a terceira linha da quarta linha:
Passo 9
Agora, temos a matriz escalonada. Vamos escrever as equações correspondentes: