Aplique o Método de Gauss-Jordan para resolver o sistema linear abaixo. Indique em sua resposta os coeficientes e termos independentes do sistema obtido após todas as etapas do escalonamento. Sua resposta deve também indicar a solução do sistema. Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
& 5 x1+2 x2+x3=-12 & -1 x1+4 x2+2 x3=20 & 2 x1-3 x2+10 x3=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Gauss-Jordan. Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
Temos três equações com três incógnitas 5x1 + 2x2 + x3 &= -12 -1x1 + 4x2 + 2x3 &= 20 2x1 - 3x2 + 10x3 &= 3 , e :
Vamos usar matrizes para facilitar o processo. Precisamos formar a matriz aumentada que inclui os coeficientes das variáveis e os termos independentes.

Passo 2

A matriz aumentada do sistema é:
5 & 2 & 1 & | & -12 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 10 & | & 3
O objetivo do Método de Gauss-Jordan é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde teremos números 1 na diagonal principal e zeros em todas as outras posições da coluna.

Passo 3

Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 (se já não for). Aqui, o primeiro elemento é 5, então podemos dividir toda a primeira linha por 5:
R1 = R15 Rightarrow 1 & 25 & 15 & | & -125 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 10 & | & 3

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2 (R2): Vamos adicionar a primeira linha (R1) à segunda linha (R2):
    R2 = R2 + R1 Rightarrow -1 + 1 = 0, 4 + 25 = 225, 2 + 15 = 115, 20 - 125 = 885
  • Linha 3 (R3): Vamos subtrair 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
    R3 = R3 - 2R1 Rightarrow 2 - 2(1) = 0, -3 - 2(25) = -195, 10 - 2(15) = 485, 3 - 2(-125) = 395
A matriz fica assim:
1 & 25 & 15 & | & -125 0 & 225 & 115 & | & 885 0 & -195 & 485 & | & 395

Passo 5

Vamos simplificar as frações multiplicando as linhas 2 e 3 por 5 para facilitar os cálculos:
1 & 25 & 15 & | & -125 0 & 22 & 11 & | & 88 0 & -19 & 48 & | & 39

Passo 6

Agora, vamos tornar o segundo elemento da segunda linha igual a 1 dividindo toda a segunda linha por 22:
R2 = R222 Rightarrow 1 & 25 & 15 & | & -125 0 & 1 & 12 & | & 4 0 & -19 & 48 & | & 39

Passo 7

Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna.
  • Linha 1 (R1): Vamos subtrair R1 = R1 - 25R2 Rightarrow 1 - 0 = 1, 25 - 25(1) = 0, 15 - 25(12) = 0, -125 - 25(4) = -125 - 85 = -4 vezes a segunda linha da primeira linha:
    R3 = R3 + 19R2 Rightarrow 0 + 0 = 0, -19 + 19(1) = 0, 48 + 19(12) = 48 + 192 = 1152, 39 + 19(4) = 39 + 76 = 115
  • Linha 3 (R3): Vamos adicionar 19 vezes a segunda linha à terceira linha:
    1 & 0 & 0 & | & -4 0 & 1 & 12 & | & 4 0 & 0 & 1152 & | & 115
A matriz agora é:

Passo 8

Por fim, vamos tornar o terceiro elemento da terceira linha igual a 1 dividindo toda a terceira linha por R3 = 2115R3 Rightarrow 1 & 0 & 0 & | & -4 0 & 1 & 12 & | & 4 0 & 0 & 1 & | & 2 :
x1 = -4 x2 + 12x3 = 4 x3 = 2
Agora, a matriz está na forma reduzida, e podemos ler as soluções diretamente:
x2 + 12(2) = 4 Rightarrow x2 + 1 = 4 Rightarrow x2 = 3
Substituindo na segunda equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -4, x2 = 3, x3 = 2
Os coeficientes e termos independentes após o escalonamento final são:
1 & 0 & 0 & | & -4 0 & 1 & 12 & | & 4 0 & 0 & 1 & | & 2

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