Aplique o método da Falsa Posição para calcular a raiz de x^2-5= =0 com varepsilon=0.01.
a) partindo do intervalo inicial [2,2.5].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a raiz da equação usando o método da Falsa Posição, com uma precisão de . O método da Falsa Posição é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo inicial. Vamos precisar começar com o intervalo e aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos trabalhando:
f(x) = x^2 - 5
Queremos achar o valor de que faz .

Passo 3

No método da Falsa Posição, usamos a fórmula:
xnovo = b - f(b) cdot b - af(b) - f(a)
onde e são os extremos do intervalo inicial, e e são os valores da função nesses pontos.

Passo 4

Vamos calcular f(2) = 2^2 - 5 = 4 - 5 = -1 e f(2,5) = (2,5)^2 - 5 = 6,25 - 5 = 1,25 :
Como é negativo e é positivo, sabemos que há uma raiz entre 2 e 2,5.

Passo 5

Aplicando a fórmula da Falsa Posição para encontrar xnovo = 2,5 - 1,25 cdot 2,5 - 21,25 - (-1) :
xnovo = 2,5 - 1,25 cdot 0,52,25
xnovo = 2,5 - 1,25 cdot 0,2222
xnovo approx 2,5 - 0,2778 = 2,2222

Passo 6

Agora, calculamos f(2,2222) approx (2,2222)^2 - 5 approx 4,9383 - 5 = -0,0617 :
Como é negativo, a raiz está entre 2,2222 e 2,5.

Passo 7

Repetimos a fórmula com o novo intervalo xnovo = 2,5 - 1,25 cdot 2,5 - 2,22221,25 - (-0,0617) :
xnovo approx 2,5 - 1,25 cdot 0,27781,3117
xnovo approx 2,5 - 1,25 cdot 0,2117
xnovo approx 2,5 - 0,2646 = 2,2354

Passo 8

Calculamos f(2,2354) approx (2,2354)^2 - 5 approx 5,0004 - 5 = 0,0004 :
Como o valor de está muito próximo de zero e a diferença está dentro da precisão , podemos parar aqui.

Resposta

A raiz da equação encontrada pelo método da Falsa Posição, com uma precisão de , é aproximadamente .

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