(Método da Falsa Posição) Suponhamos que seja contínua em e troca de sinal nos extremos de I onde um zero real de f encontra-se isolado.
Seja a intersecção do eixo com a corda onde .
Descreva um algoritmo para gerar uma seqüência de números que se aproxima de baseado no seguinte procedimento:
a) calcular ;
b) substituir um dos extremos por ;
c) usar como critério de parada a condição (anterior) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde queremos encontrar a raiz de uma função que está num intervalo . A função é contínua nesse intervalo e muda de sinal nos extremos, o que, segundo o Teorema do Valor Intermediário, garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Nosso objetivo é usar o Método da Falsa Posição para aproximar esse valor de . Para isso, vamos precisar calcular pontos que vão se aproximando da raiz, substituindo os extremos do intervalo com base em certas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular , que é o ponto onde a corda entre os pontos e intercepta o eixo . Isso significa que estamos desenhando uma linha reta entre e e encontrando onde essa linha cruza o eixo horizontal.
A fórmula para encontrar é derivada da geometria da reta que passa por e . Usamos a seguinte expressão:
Aqui, estamos basicamente calculando a interseção da reta com o eixo .

Passo 3

Depois de calcular , precisamos decidir qual dos extremos do intervalo vamos substituir por . A escolha depende do sinal de :
  • Se e tiverem sinais opostos, então a raiz está entre e . Então, substituímos por .
  • Se e tiverem sinais opostos, então a raiz está entre e . Então, substituímos por .
Esse passo assegura que o novo intervalo ainda contém a raiz .

Passo 4

Agora, vamos definir um critério para parar o algoritmo. A ideia é que a sequência de gerada deve convergir para . Para isso, usamos a condição de que a diferença entre duas iterações consecutivas de seja menor ou igual a uma tolerância :
Quando essa condição for satisfeita, consideramos que a aproximação é suficientemente boa e paramos o processo.

Passo 5

Vamos juntar tudo isso em um algoritmo passo a passo:
  1. Inicialização:
    • Escolha um intervalo inicial onde e têm sinais opostos.
    • Defina uma tolerância .
  2. Iteração:
    • Calcule usando:
    • Verifique o sinal de :
      • Se e têm sinais opostos, substitua por .
      • Caso contrário, substitua por .
    • Verifique o critério de parada:
      • Se sim, pare o algoritmo.
      • Se não, repita o processo.

Resposta

Seguindo esse algoritmo, conseguimos gerar uma sequência de valores que se aproxima cada vez mais da raiz da função no intervalo com a precisão desejada . Assim, utilizamos o Método da Falsa Posição de forma eficiente para encontrar a raiz isolada.

Exercícios relacionados

Dada a função , determine um intervalo que contenha uma única raiz positiva de e para este intervalo calcule o número de iterações que se executa no processo de dicotomia para obter m tal que .
Utilize o Método da Secante para obter o valor aproximado de , partindo dos pontos iniciais e , com .
Aplique o método da Falsa Posição para calcular a raiz de .
a) partindo do intervalo inicial .
Aplique o método da Falsa Posição para calcular a raiz de .
b) partindo do intervalo inicial .