Aplique o método da Falsa Posição para calcular a raiz de .
b) partindo do intervalo inicial .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa usar o Método da Falsa Posição para encontrar a raiz da equação com uma precisão de . Esse método pertence à área de Análise Numérica, que é basicamente sobre como resolver problemas matemáticos usando aproximações. Para isso, vamos precisar do intervalo inicial onde sabemos que a raiz está localizada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método da Falsa Posição. Ele é semelhante ao Método da Bissecção, mas ao invés de simplesmente cortar o intervalo ao meio, usamos uma linha reta (uma aproximação linear) para estimar onde a raiz está. A fórmula para encontrar a próxima aproximação é:
Onde:
  • e são os limites do intervalo atual.
  • e são os valores da função nos pontos e .

Passo 3

Vamos começar com o intervalo . Primeiro, calculamos e :
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 2 e 3 (isso é garantido pelo Teorema do Valor Intermediário).

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Falsa Posição para encontrar :
Então, nossa primeira aproximação é .

Passo 5

Vamos verificar o valor de :
Como é negativo, a raiz está entre e . Então, atualizamos nosso intervalo para .

Passo 6

Aplicamos novamente a fórmula da Falsa Posição com o novo intervalo :
Então, a próxima aproximação é .

Passo 7

Vamos calcular :
Ainda está negativo, então a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 8

Mais uma vez, aplicamos a fórmula:
Nossa nova aproximação é .

Passo 9

Calculando :
Agora, é positivo, então a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 10

Aplicamos novamente a fórmula:
Agora, temos .

Passo 11

Vamos verificar :
Como , atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz da equação usando o Método da Falsa Posição com é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Aplique o método da Falsa Posição para calcular a raiz de .
a) partindo do intervalo inicial .
(Método da Falsa Posição) Suponhamos que seja contínua em e troca de sinal nos extremos de I onde um zero real de f encontra-se isolado.
Seja a intersecção do eixo com a corda onde .
Descreva um algoritmo para gerar uma seqüência de números que se aproxima de baseado no seguinte procedimento:
a) calcular ;
b) substituir um dos extremos por ;
c) usar como critério de parada a condição (anterior) .
Podemos afirmar que a raiz exata ? Justifique.
Use o método da adição para resolva o sistema linear:
.