Aplique o método da Falsa Posição para calcular a raiz de x^2-5= =0 com varepsilon=0.01.
b) partindo do intervalo inicial [2,3].

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa usar o Método da Falsa Posição para encontrar a raiz da equação com uma precisão de . Esse método pertence à área de Análise Numérica, que é basicamente sobre como resolver problemas matemáticos usando aproximações. Para isso, vamos precisar do intervalo inicial onde sabemos que a raiz está localizada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método da Falsa Posição. Ele é semelhante ao Método da Bissecção, mas ao invés de simplesmente cortar o intervalo ao meio, usamos uma linha reta (uma aproximação linear) para estimar onde a raiz está. A fórmula para encontrar a próxima aproximação xr = b - f(b)(a - b)f(a) - f(b) é:
Onde:
  • e são os limites do intervalo atual.
  • e são os valores da função nos pontos e .

Passo 3

Vamos começar com o intervalo f(2) = 2^2 - 5 = 4 - 5 = -1 . Primeiro, calculamos f(3) = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4 e :
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 2 e 3 (isso é garantido pelo Teorema do Valor Intermediário).

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Falsa Posição para encontrar xr = 3 - 4 times (2 - 3)-1 - 4 = 3 - 4 times (-1)-5 = 3 - -4-5 = 3 - 0,8 = 2,2 :
Então, nossa primeira aproximação é .

Passo 5

Vamos verificar o valor de f(2,2) = (2,2)^2 - 5 = 4,84 - 5 = -0,16 :
Como é negativo, a raiz está entre e . Então, atualizamos nosso intervalo para .

Passo 6

Aplicamos novamente a fórmula da Falsa Posição com o novo intervalo xr = 3 - 4 times (2,2 - 3)-0,16 - 4 = 3 - 4 times (-0,8)-4,16 = 3 - -3,2-4,16 approx 3 - 0,769 = 2,231 :
Então, a próxima aproximação é .

Passo 7

Vamos calcular f(2,231) = (2,231)^2 - 5 approx 4,958 - 5 = -0,042 :
Ainda está negativo, então a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 8

Mais uma vez, aplicamos a fórmula:
xr = 3 - 4 times (2,231 - 3)-0,042 - 4 = 3 - 4 times (-0,769)-4,042 approx 3 - -3,076-4,042 approx 3 - 0,761 = 2,239
Nossa nova aproximação é .

Passo 9

Calculando f(2,239) = (2,239)^2 - 5 approx 5,014 - 5 = 0,014 :
Agora, é positivo, então a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 10

Aplicamos novamente a fórmula:
xr = 2,239 - 0,014 times (2,231 - 2,239)-0,042 - 0,014 = 2,239 - 0,014 times (-0,008)-0,056 approx 2,239 - -0,000112-0,056 approx 2,239 - 0,002 = 2,237
Agora, temos .

Passo 11

Vamos verificar f(2,237) = (2,237)^2 - 5 approx 4,996 - 5 = -0,004 :
Como , atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz da equação usando o Método da Falsa Posição com é aproximadamente .

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