Aplique o método da Falsa Posição para calcular a raiz de
.
b) partindo do intervalo inicial
.
b) partindo do intervalo inicial
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa usar o Método da Falsa Posição para encontrar a raiz da equação
com uma precisão de
. Esse método pertence à área de Análise Numérica, que é basicamente sobre como resolver problemas matemáticos usando aproximações. Para isso, vamos precisar do intervalo inicial
onde sabemos que a raiz está localizada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método da Falsa Posição. Ele é semelhante ao Método da Bissecção, mas ao invés de simplesmente cortar o intervalo ao meio, usamos uma linha reta (uma aproximação linear) para estimar onde a raiz está. A fórmula para encontrar a próxima aproximação
é:
Onde:
-
e são os limites do intervalo atual. -
e são os valores da função nos pontos e .
Passo 3
Vamos começar com o intervalo
. Primeiro, calculamos
e
:
Como
é negativo e
é positivo, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 2 e 3 (isso é garantido pelo Teorema do Valor Intermediário).
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da Falsa Posição para encontrar
:
Então, nossa primeira aproximação é
.
Passo 5
Vamos verificar o valor de
:
Como
é negativo, a raiz está entre
e
. Então, atualizamos nosso intervalo para
.
Passo 6
Aplicamos novamente a fórmula da Falsa Posição com o novo intervalo
:
Então, a próxima aproximação é
.
Passo 7
Vamos calcular
:
Ainda está negativo, então a raiz está entre
e
. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 8
Mais uma vez, aplicamos a fórmula:
Nossa nova aproximação é
.
Passo 9
Calculando
:
Agora,
é positivo, então a raiz está entre
e
. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 10
Aplicamos novamente a fórmula:
Agora, temos
.
Passo 11
Vamos verificar
:
Como
, atingimos a precisão desejada.
Resposta
A raiz da equação
usando o Método da Falsa Posição com
é aproximadamente
.