Aplique o método da Falsa Posição para calcular a raiz de .
b) partindo do intervalo inicial .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa usar o Método da Falsa Posição para encontrar a raiz da equação com uma precisão de . Esse método pertence à área de Análise Numérica, que é basicamente sobre como resolver problemas matemáticos usando aproximações. Para isso, vamos precisar do intervalo inicial onde sabemos que a raiz está localizada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método da Falsa Posição. Ele é semelhante ao Método da Bissecção, mas ao invés de simplesmente cortar o intervalo ao meio, usamos uma linha reta (uma aproximação linear) para estimar onde a raiz está. A fórmula para encontrar a próxima aproximação é:
Onde:
e são os limites do intervalo atual.
e são os valores da função nos pontos e .
Passo 3
Vamos começar com o intervalo . Primeiro, calculamos e :
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 2 e 3 (isso é garantido pelo Teorema do Valor Intermediário).
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da Falsa Posição para encontrar :
Então, nossa primeira aproximação é .
Passo 5
Vamos verificar o valor de :
Como é negativo, a raiz está entre e . Então, atualizamos nosso intervalo para .
Passo 6
Aplicamos novamente a fórmula da Falsa Posição com o novo intervalo :
Então, a próxima aproximação é .
Passo 7
Vamos calcular :
Ainda está negativo, então a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .
Passo 8
Mais uma vez, aplicamos a fórmula:
Nossa nova aproximação é .
Passo 9
Calculando :
Agora, é positivo, então a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .
Passo 10
Aplicamos novamente a fórmula:
Agora, temos .
Passo 11
Vamos verificar :
Como , atingimos a precisão desejada.
Resposta
A raiz da equação usando o Método da Falsa Posição com é aproximadamente .