Dada a função , determine um intervalo que contenha uma única raiz positiva de e para este intervalo calcule o número de iterações que se executa no processo de dicotomia para obter m tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um intervalo que contenha uma única raiz positiva da função e, dentro desse intervalo, calcular o número de iterações necessárias no método da dicotomia para aproximar essa raiz com uma precisão de . Para isso, vamos usar conceitos de funções contínuas, análise de sinais e o método da dicotomia (ou bissecção).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Aqui, é o logaritmo natural de , e representa a tangente hiperbólica de . Queremos encontrar onde essa função cruza o eixo das abscissas, ou seja, onde .
Passo 3
Para encontrar um intervalo onde a função tem uma única raiz positiva, vamos analisar o comportamento de :
Quando se aproxima de 0, tende a e tende a 0, então tende a .
Quando aumenta, cresce lentamente, enquanto cresce mais rapidamente.
Vamos calcular e para ver os sinais:
Sabemos que é aproximadamente 1.9648, então .
Vamos tentar um valor maior:
Sabemos que é aproximadamente -0.1425 (pois a tangente tem periodicidade e sinais variam), então
Então, entre e , a função muda de negativa para positiva, indicando que existe uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Agora que identificamos o intervalo onde a função muda de sinal, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Para garantir que há uma única raiz, observamos que a função é estritamente crescente e também é estritamente crescente para . Portanto, a função é a diferença de duas funções crescentes, indicando que ela pode ter no máximo uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Vamos calcular o número de iterações necessárias no método da dicotomia para encontrar uma aproximação da raiz com precisão de . A fórmula para o número de iterações no método da dicotomia é:
Onde:
Substituindo os valores:
Como o número de iterações deve ser inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
Um intervalo que contém a única raiz positiva é , e são necessárias 14 iterações no método da dicotomia para aproximar a raiz com precisão de .