Dada a função f(x)=ln x-tg hx, determine um intervalo que contenha uma única raiz positiva alpha de f(x) e para este intervalo calcule o número de iterações que se executa no processo de dicotomia para obter m tal que alpha=m pm 0.0001.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um intervalo que contenha uma única raiz positiva da função f(x) = ln x - tg hx e, dentro desse intervalo, calcular o número de iterações necessárias no método da dicotomia para aproximar essa raiz com uma precisão de pm 0.0001. Para isso, vamos usar conceitos de funções contínuas, análise de sinais e o método da dicotomia (ou bissecção).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = ln x - tg hx. Aqui, ln x é o logaritmo natural de x, e tg hx representa a tangente hiperbólica de x. Queremos encontrar onde essa função cruza o eixo das abscissas, ou seja, onde f(x) = 0.

Passo 3

Para encontrar um intervalo onde a função tem uma única raiz positiva, vamos analisar o comportamento de f(x):
  • Quando x se aproxima de 0, ln x tende a -infty e tg hx tende a 0, então f(x) tende a -infty.
  • Quando x aumenta, ln x cresce lentamente, enquanto tg hx cresce mais rapidamente.
Vamos calcular f(1) e f(2) para ver os sinais:
  • f(1) = ln(1) - tg(1) = 0 - tg(1) < 0
  • f(2) = ln(2) - tg(2) approx 0.6931 - tg(2)
Sabemos que tg(2) é aproximadamente 1.9648, então f(2) approx 0.6931 - 1.9648 = -1.2717 < 0.
Vamos tentar um valor maior:
  • f(3) = ln(3) - tg(3) approx 1.0986 - tg(3)
Sabemos que tg(3) é aproximadamente -0.1425 (pois a tangente tem periodicidade e sinais variam), então f(3) approx 1.0986 - (-0.1425) = 1.2411 > 0
Então, entre x = 2 e x = 3, a função muda de negativa para positiva, indicando que existe uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora que identificamos o intervalo [2, 3] onde a função muda de sinal, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Para garantir que há uma única raiz, observamos que a função ln x é estritamente crescente e tg hx também é estritamente crescente para x > 0. Portanto, a função f(x) é a diferença de duas funções crescentes, indicando que ela pode ter no máximo uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Vamos calcular o número de iterações necessárias no método da dicotomia para encontrar uma aproximação da raiz com precisão de pm 0.0001. A fórmula para o número de iterações N no método da dicotomia é:
N >= log(b - avarepsilon)log(2)
Onde:
  • a = 2
  • b = 3
  • varepsilon = 0.0001
Substituindo os valores:
N >= log(3 - 20.0001)log(2) = log(10000)log(2) approx 40.3010 approx 13.2877
Como o número de iterações deve ser inteiro, arredondamos para cima:
N = 14

Resposta

Um intervalo que contém a única raiz positiva é [2,,3], e são necessárias 14 iterações no método da dicotomia para aproximar a raiz com precisão de pm 0.0001.

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