Dada a função , determine um intervalo que contenha uma única raiz positiva de e para este intervalo calcule o número de iterações que se executa no processo de dicotomia para obter m tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um intervalo que contenha uma única raiz positiva da função e, dentro desse intervalo, calcular o número de iterações necessárias no método da dicotomia para aproximar essa raiz com uma precisão de . Para isso, vamos usar conceitos de funções contínuas, análise de sinais e o método da dicotomia (ou bissecção).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Aqui, é o logaritmo natural de , e representa a tangente hiperbólica de . Queremos encontrar onde essa função cruza o eixo das abscissas, ou seja, onde .

Passo 3

Para encontrar um intervalo onde a função tem uma única raiz positiva, vamos analisar o comportamento de :
  • Quando se aproxima de 0, tende a e tende a 0, então tende a .
  • Quando aumenta, cresce lentamente, enquanto cresce mais rapidamente.
Vamos calcular e para ver os sinais:
Sabemos que é aproximadamente 1.9648, então .
Vamos tentar um valor maior:
Sabemos que é aproximadamente -0.1425 (pois a tangente tem periodicidade e sinais variam), então
Então, entre e , a função muda de negativa para positiva, indicando que existe uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora que identificamos o intervalo onde a função muda de sinal, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Para garantir que há uma única raiz, observamos que a função é estritamente crescente e também é estritamente crescente para . Portanto, a função é a diferença de duas funções crescentes, indicando que ela pode ter no máximo uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Vamos calcular o número de iterações necessárias no método da dicotomia para encontrar uma aproximação da raiz com precisão de . A fórmula para o número de iterações no método da dicotomia é:
Onde:
Substituindo os valores:
Como o número de iterações deve ser inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

Um intervalo que contém a única raiz positiva é , e são necessárias 14 iterações no método da dicotomia para aproximar a raiz com precisão de .

Exercícios relacionados

Utilize o Método da Secante para obter o valor aproximado de , partindo dos pontos iniciais e , com .
Encontre a solução aproximada da equação no intervalo utilizando o Método da Bissecção, .
(Método da Falsa Posição) Suponhamos que seja contínua em e troca de sinal nos extremos de I onde um zero real de f encontra-se isolado.
Seja a intersecção do eixo com a corda onde .
Descreva um algoritmo para gerar uma seqüência de números que se aproxima de baseado no seguinte procedimento:
a) calcular ;
b) substituir um dos extremos por ;
c) usar como critério de parada a condição (anterior) .
Aplique o método da Falsa Posição para calcular a raiz de .
a) partindo do intervalo inicial .