Aplique o Método de Gauss-Jacobi para resolver o sistema linear abaixo com erro relativo <10^-2. Considere como critério de parada max |xi^(k)-xi^(k-1)|<10^-2 e, admita solução inicial nula. Indique em sua resposta as aproximações obtidas a cada iteração do método, até obter a precisão estabelecida ou até calcular 5 iterações. Caso os critérios de convergência não sejam atendidos, efetue apenas troca de linhas no sistema linear, e indique qual o sistema equivalente utilizado. Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
& 2 x-3 y+10 z=3 & 5 x+2 y+z=-12 & -1 x+4 y+2 z=20

Passo 1

Então, vamos lá! Você me pediu para resolver um sistema de equações lineares usando o Método de Gauss-Jacobi. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Para isso, precisamos reescrever o sistema de forma que cada equação tenha uma variável isolada. Além disso, vamos verificar se o sistema é adequado para o método ou se precisamos ajustar algo, como trocar as linhas para facilitar a convergência. Vamos precisar das fórmulas do método e seguir passo a passo para chegar na solução com a precisão de 10^-2.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o sistema original:
2x - 3y + 10z &= 3 5x + 2y + z &= -12 -1x + 4y + 2z &= 20
Precisamos verificar se o sistema é dominante diagonal, ou seja, se o coeficiente de cada variável na sua própria equação é maior que a soma dos outros coeficientes nessa mesma equação. Isso é importante para garantir que o Método de Gauss-Jacobi vá convergir para a solução correta.
Analisando a Dominância Diagonal:
  1. Primeira Equação:
    • Coeficiente de x: |2|
    • Soma dos outros coeficientes: |−3| + |10| = 13
    • Não é dominante diagonal porque 2 < 13.
  2. Segunda Equação:
    • Coeficiente de y: |2|
    • Soma dos outros coeficientes: |5| + |1| = 6
    • Não é dominante diagonal porque 2 < 6.
  3. Terceira Equação:
    • Coeficiente de z: |2|
    • Soma dos outros coeficientes: |−1| + |4| = 5
    • Não é dominante diagonal porque 2 < 5.
Como nenhuma equação é dominante diagonal, o método pode não convergir. Para resolver isso, vamos trocar as linhas do sistema para tentar tornar cada equação dominante na sua respectiva variável.

Passo 3

Vamos reorganizar as equações para tentar obter a dominância diagonal. Observando os coeficientes:
  • Para x: Os coeficientes são 2, 5, e -1. O maior em valor absoluto é 5.
  • Para y: Os coeficientes são −3, 2, e 4. O maior em valor absoluto é 4.
  • Para z: Os coeficientes são 10, 1, e 2. O maior em valor absoluto é 10.
Vamos rearranjar o sistema colocando a equação com o maior coeficiente de x na primeira posição, a com o maior de y na segunda e a com o maior de z na terceira:

Sistema Reorganizado:

5x + 2y + z &= -12 (Equação 1) -1x + 4y + 2z &= 20 (Equação 2) 2x - 3y + 10z &= 3 (Equação 3) çãçãçã
Verificando a Dominância Diagonal:
  1. Equação 1:
    • Coeficiente de x: |5|
    • Soma dos outros coeficientes: |2| + |1| = 3
    • Dominante diagonal porque 5 > 3.
  2. Equação 2:
    • Coeficiente de y: |4|
    • Soma dos outros coeficientes: |−1| + |2| = 3
    • Dominante diagonal porque 4 > 3.
  3. Equação 3:
    • Coeficiente de z: |10|
    • Soma dos outros coeficientes: |2| + |−3| = 5
    • Dominante diagonal porque 10 > 5.
Ótimo! Agora o sistema está adequado para o Método de Gauss-Jacobi.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método de Gauss-Jacobi. A ideia é reescrever cada equação isolando uma variável. Assim, teremos:
  1. Isolando x na Equação 1:
    x = -12 - 2y - z5
  2. Isolando y na Equação 2:
    y = 20 + x - 2z4
  3. Isolando z na Equação 3:
    z = 3 - 2x + 3y10
Configuração Inicial:
Vamos começar com uma solução inicial nula, ou seja:
x^(0) = 0, y^(0) = 0, z^(0) = 0
Critério de Parada:
Vamos parar quando a maior diferença entre as aproximações sucessivas for menor que 10^-2 ou após 5 iterações, o que ocorrer primeiro.

Passo 5

Primeira Iteração ( k=1):
Usando as equações isoladas e os valores iniciais:
  1. Calcular x^(1):
    x^(1) = -12 - 2 cdot 0 - 05 = -125 = -2.4
  2. Calcular y^(1):
    y^(1) = 20 + 0 - 2 cdot 04 = 204 = 5
  3. Calcular z^(1):
    z^(1) = 3 - 2 cdot 0 + 3 cdot 010 = 310 = 0.3
Solução após a 1ª iteração:
x^(1) = -2.4, y^(1) = 5, z^(1) = 0.3
Diferenças:
|x^(1) - x^(0)| = |-2.4 - 0| = 2.4 |y^(1) - y^(0)| = |5 - 0| = 5 |z^(1) - z^(0)| = |0.3 - 0| = 0.3
A maior diferença é 5, que é maior que 10^-2. Precisamos continuar.

Passo 6

Segunda Iteração ( k=2):
Usando os valores da iteração anterior:
  1. Calcular x^(2):
    x^(2) = -12 - 2 cdot 5 - 0.35 = -12 -10 -0.35 = -22.35 = -4.46
  2. Calcular y^(2):
    y^(2) = 20 + (-2.4) - 2 cdot 0.34 = 20 -2.4 -0.64 = 174 = 4.25
  3. Calcular z^(2):
    z^(2) = 3 - 2 cdot (-2.4) + 3 cdot 510 = 3 +4.8 +1510 = 22.810 = 2.28
Solução após a 2ª iteração:
x^(2) = -4.46, y^(2) = 4.25, z^(2) = 2.28
Diferenças:
|x^(2) - x^(1)| = |-4.46 - (-2.4)| = 2.06 |y^(2) - y^(1)| = |4.25 - 5| = 0.75 |z^(2) - z^(1)| = |2.28 - 0.3| = 1.98
A maior diferença é 2.06, ainda maior que 10^-2. Vamos continuar.

Passo 7

Terceira Iteração ( k=3):
Usando os valores da iteração anterior:
  1. Calcular x^(3):
    x^(3) = -12 - 2 cdot 4.25 - 2.285 = -12 -8.5 -2.285 = -22.785 = -4.56
  2. Calcular y^(3):
    y^(3) = 20 + (-4.46) - 2 cdot 2.284 = 20 -4.46 -4.564 = 11.984 = 2.995
  3. Calcular z^(3):
    z^(3) = 3 - 2 cdot (-4.46) + 3 cdot 4.2510 = 3 +8.92 +12.7510 = 24.6710 = 2.467
Solução após a 3ª iteração:
x^(3) = -4.56, y^(3) = 2.995, z^(3) = 2.467
Diferenças:
|x^(3) - x^(2)| = |-4.56 - (-4.46)| = 0.10 |y^(3) - y^(2)| = |2.995 - 4.25| = 1.255 |z^(3) - z^(2)| = |2.467 - 2.28| = 0.187
A maior diferença é 1.255, ainda acima de 10^-2. Vamos prosseguir.

Passo 8

Quarta Iteração ( k=4):
Usando os valores da iteração anterior:
  1. Calcular x^(4):
    x^(4) = -12 - 2 cdot 2.995 - 2.4675 = -12 -5.99 -2.4675 = -20.4575 = -4.0914 approx -4.0914
  2. Calcular y^(4):
    y^(4) = 20 + (-4.56) - 2 cdot 2.4674 = 20 -4.56 -4.9344 = 10.504 = 2.625
  3. Calcular z^(4):
    z^(4) = 3 - 2 cdot (-4.56) + 3 cdot 2.99510 = 3 +9.12 +8.98510 = 21.10510 = 2.1105 approx 2.1105
Solução após a 4ª iteração:
x^(4) = -4.0914, y^(4) = 2.625, z^(4) = 2.1105
Diferenças:
|x^(4) - x^(3)| = |-4.0914 - (-4.56)| approx 0.4686 |y^(4) - y^(3)| = |2.625 - 2.995| = 0.37 |z^(4) - z^(3)| = |2.1105 - 2.467| approx 0.3565
A maior diferença é 0.4686, ainda maior que 10^-2. Vamos para a próxima iteração.

Passo 9

Quinta Iteração ( k=5):
Usando os valores da iteração anterior:
  1. Calcular x^(5):
    x^(5) = -12 - 2 cdot 2.625 - 2.11055 = -12 -5.25 -2.11055 = -19.36055 = -3.8721 approx -3.8721
  2. Calcular y^(5):
    y^(5) = 20 + (-4.0914) - 2 cdot 2.11054 = 20 -4.0914 -4.2214 = 11.68764 = 2.9219 approx 2.9219
  3. Calcular z^(5):
    z^(5) = 3 - 2 cdot (-4.0914) + 3 cdot 2.62510 = 3 +8.1828 +7.87510 = 19.057810 = 1.9058 approx 1.9058
Solução após a 5ª iteração:
x^(5) = -3.8721, y^(5) = 2.9219, z^(5) = 1.9058
Diferenças:
|x^(5) - x^(4)| = |-3.8721 - (-4.0914)| approx 0.2193 |y^(5) - y^(4)| = |2.9219 - 2.625| = 0.2969 |z^(5) - z^(4)| = |1.9058 - 2.1105| approx 0.2047
A maior diferença é 0.2969, ainda acima de 10^-2. Porém, já fizemos 5 iterações, então paramos aqui.

Resposta

Após 5 iterações do Método de Gauss-Jacobi, as aproximações das soluções são:
x &approx -3.8721 y &approx 2.9219 z &approx 1.9058
Como o critério de erro relativo <10^-2 não foi atendido após 5 iterações, a solução final é essa até o momento.

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