Aplique o Método de Gauss-Jacobi para resolver o sistema linear abaixo com erro relativo . Considere como critério de parada max , admita solução inicial nula. Indique em sua resposta as aproximações obtidas a cada iteração do método, até obter a precisão estabelecida ou até calcular 5 iterações. Caso os critérios de convergência não sejam atendidos, efetue apenas troca de linhas no sistema linear, e indique qual o sistema equivalente utilizado. Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
Então, vamos lá! Você me pediu para resolver um sistema de equações lineares usando o Método de Gauss-Jacobi. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Para isso, precisamos reescrever o sistema de forma que cada equação tenha uma variável isolada. Além disso, vamos verificar se o sistema é adequado para o método ou se precisamos ajustar algo, como trocar as linhas para facilitar a convergência. Vamos precisar das fórmulas do método e seguir passo a passo para chegar na solução com a precisão de 10^-2.
Precisamos verificar se o sistema é dominante diagonal, ou seja, se o coeficiente de cada variável na sua própria equação é maior que a soma dos outros coeficientes nessa mesma equação. Isso é importante para garantir que o Método de Gauss-Jacobi vá convergir para a solução correta.
Analisando a Dominância Diagonal:
Primeira Equação:
Coeficiente de x: |2|
Soma dos outros coeficientes: |−3| + |10| = 13
Não é dominante diagonal porque 2 < 13.
Segunda Equação:
Coeficiente de y: |2|
Soma dos outros coeficientes: |5| + |1| = 6
Não é dominante diagonal porque 2 < 6.
Terceira Equação:
Coeficiente de z: |2|
Soma dos outros coeficientes: |−1| + |4| = 5
Não é dominante diagonal porque 2 < 5.
Como nenhuma equação é dominante diagonal, o método pode não convergir. Para resolver isso, vamos trocar as linhas do sistema para tentar tornar cada equação dominante na sua respectiva variável.
Passo 3
Vamos reorganizar as equações para tentar obter a dominância diagonal. Observando os coeficientes:
Para x: Os coeficientes são 2, 5, e -1. O maior em valor absoluto é 5.
Para y: Os coeficientes são −3, 2, e 4. O maior em valor absoluto é 4.
Para z: Os coeficientes são 10, 1, e 2. O maior em valor absoluto é 10.
Vamos rearranjar o sistema colocando a equação com o maior coeficiente de x na primeira posição, a com o maior de y na segunda e a com o maior de z na terceira:
Ótimo! Agora o sistema está adequado para o Método de Gauss-Jacobi.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Método de Gauss-Jacobi. A ideia é reescrever cada equação isolando uma variável. Assim, teremos:
Isolando x na Equação 1:
x = -12 - 2y - z5
Isolando y na Equação 2:
y = 20 + x - 2z4
Isolando z na Equação 3:
z = 3 - 2x + 3y10
Configuração Inicial:
Vamos começar com uma solução inicial nula, ou seja:
x^(0) = 0, y^(0) = 0, z^(0) = 0
Critério de Parada:
Vamos parar quando a maior diferença entre as aproximações sucessivas for menor que 10^-2 ou após 5 iterações, o que ocorrer primeiro.
Passo 5
Primeira Iteração (k=1):
Usando as equações isoladas e os valores iniciais: