Aplique o Método de Gauss-Jacobi para resolver o sistema linear abaixo com precisão varepsilon<0.001. Considere como critério de parada max |xi^(k)-xi^(k-1)|<0.001 e, como aproximação inicial: x1 ^(0)=2.7, x2 ^(0)=4.2, x3 ^(0)=5.5. Indique em sua resposta as aproximações obtidas a cada iteração do método, até obter a precisão estabelecida ou até calcular 5 iterações. Caso os critérios de convergência não sejam atendidos, efetue apenas pivotamento parcial no sistema linear. Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
17.5 x1+6.1 x2-9.4 x3=21.2
-8.3 x1-3.8 x2+12.9 x3=32.6
-5.7 x1-10 x2+3.2 x3=-39.8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Gauss-Jacobi! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de , e que satisfazem as equações dadas, usando iterações até que a diferença entre as aproximações seja menor que ou até completar 5 iterações. Vamos precisar entender como o Método de Gauss-Jacobi funciona, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema para isolar cada variável. Isso vai nos ajudar a criar as fórmulas de iteração.
As equações originais são:
17.5x1 + 6.1x2 - 9.4x3 = 21.2 -8.3x1 - 3.8x2 + 12.9x3 = 32.6 -5.7x1 - 10x2 + 3.2x3 = -39.8
Vamos isolar cada x1 = 21.2 - 6.1x2 + 9.4x317.5 :
Para x2 = 32.6 + 8.3x1 - 12.9x3-3.8 :
x3 = -39.8 + 5.7x1 + 10x23.2
Para :
Para :
Essas fórmulas vão nos permitir calcular as próximas aproximações de , e com base nos valores anteriores.

Passo 3

Vamos começar com as aproximações iniciais fornecidas:
x1^(0) = 2.7 x2^(0) = 4.2 x3^(0) = 5.5
Agora, vamos calcular a primeira iteração ( x1^(1) = 21.2 - 6.1 times 4.2 + 9.4 times 5.517.5 = 21.2 - 25.62 + 51.717.5 = 47.2817.5 approx 2.7029 ) usando as fórmulas que montamos.
Calculando x2^(1) = 32.6 + 8.3 times 2.7 - 12.9 times 5.5-3.8 = 32.6 + 22.41 - 70.95-3.8 = -15.94-3.8 approx 4.1895 :
x3^(1) = -39.8 + 5.7 times 2.7 + 10 times 4.23.2 = -39.8 + 15.39 + 423.2 = 17.593.2 approx 5.4969
Calculando x1^(1) approx 2.7029 x2^(1) approx 4.1895 x3^(1) approx 5.4969 :
Calculando :
Então, as primeiras aprox realizações são:

Passo 4

Agora, vamos verificar o critério de parada. Precisamos ver se a máxima diferença entre as novas e antigas aproximações é menor que |x1^(1) - x1^(0)| = |2.7029 - 2.7| approx 0.0029 |x2^(1) - x2^(0)| = |4.1895 - 4.2| approx 0.0105 |x3^(1) - x3^(0)| = |5.4969 - 5.5| approx 0.0031 .
Calculando as diferenças:
x1^(2) = 21.2 - 6.1 times 4.1895 + 9.4 times 5.496917.5 approx 21.2 - 25.59695 + 51.5818617.5 approx 47.184917.5 approx 2.6963
A maior diferença é x2^(2) = 32.6 + 8.3 times 2.7029 - 12.9 times 5.4969-3.8 approx 32.6 + 22.43107 - 70.7610-3.8 approx -15.7299-3.8 approx 4.1355 , que é maior que x3^(2) = -39.8 + 5.7 times 2.7029 + 10 times 4.18953.2 approx -39.8 + 15.4001 + 41.8953.2 approx 17.49513.2 approx 5.4685 . Então, precisamos fazer mais uma iteração.
Vamos para x1^(2) approx 2.6963 x2^(2) approx 4.1355 x3^(2) approx 5.4685 .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então, as aproximações na segunda iteração são:

Passo 5

Vamos verificar novamente o critério de parada com as novas aproximações.
Calculando as diferenças:
|x1^(2) - x1^(1)| = |2.6963 - 2.7029| approx 0.0066 |x2^(2) - x2^(1)| = |4.1355 - 4.1895| approx 0.0540 |x3^(2) - x3^(1)| = |5.4685 - 5.4969| approx 0.0284
A maior diferença agora é x1^(3) = 21.2 - 6.1 times 4.1355 + 9.4 times 5.468517.5 approx 21.2 - 25.26455 + 51.349917.5 approx 47.285417.5 approx 2.7060 , ainda maior que x2^(3) = 32.6 + 8.3 times 2.6963 - 12.9 times 5.4685-3.8 approx 32.6 + 22.3927 - 70.3357-3.8 approx -15.3429-3.8 approx 4.0376 . Vamos para a terceira iteração ( x3^(3) = -39.8 + 5.7 times 2.6963 + 10 times 4.13553.2 approx -39.8 + 15.3859 + 41.3553.2 approx 16.94093.2 approx 5.2934 ).
Calculando x1^(3) approx 2.7060 x2^(3) approx 4.0376 x3^(3) approx 5.2934 :
Calculando :
Calculando :
Assim, na terceira iteração temos:

Passo 6

Vamos conferir o critério de parada novamente.
Diferenças:
|x1^(3) - x1^(2)| = |2.7060 - 2.6963| approx 0.0097 |x2^(3) - x2^(2)| = |4.0376 - 4.1355| approx 0.0979 |x3^(3) - x3^(2)| = |5.2934 - 5.4685| approx 0.1751
A maior diferença é x1^(4) = 21.2 - 6.1 times 4.0376 + 9.4 times 5.293417.5 approx 21.2 - 24.54336 + 49.8059617.5 approx 46.462617.5 approx 2.6521 , ainda acima do limite de x2^(4) = 32.6 + 8.3 times 2.7060 - 12.9 times 5.2934-3.8 approx 32.6 + 22.4538 - 68.3503-3.8 approx -13.2965-3.8 approx 3.4986 . Vamos continuar para a quarta iteração ( x3^(4) = -39.8 + 5.7 times 2.7060 + 10 times 4.03763.2 approx -39.8 + 15.4242 + 40.3763.2 approx 15.00023.2 approx 4.6876 ).
Calculando x1^(4) approx 2.6521 x2^(4) approx 3.4986 x3^(4) approx 4.6876 :
Calculando :
Calculando :
Então, na quarta iteração:

Passo 7

Checando o critério de parada mais uma vez:
Diferenças:
|x1^(4) - x1^(3)| = |2.6521 - 2.7060| approx 0.0539 |x2^(4) - x2^(3)| = |3.4986 - 4.0376| approx 0.5390 |x3^(4) - x3^(3)| = |4.6876 - 5.2934| approx 0.6058
A maior diferença é x1^(5) = 21.2 - 6.1 times 3.4986 + 9.4 times 4.687617.5 approx 21.2 - 21.34446 + 44.087417.5 approx 43.942917.5 approx 2.5138 , então vamos para a quinta e última iteração permitida.
Calculando x2^(5) = 32.6 + 8.3 times 2.6521 - 12.9 times 4.6876-3.8 approx 32.6 + 22.04443 - 60.448-3.8 approx -6.8036-3.8 approx 1.7899 :
x3^(5) = -39.8 + 5.7 times 2.6521 + 10 times 3.49863.2 approx -39.8 + 15.1160 + 34.9863.2 approx 10.30203.2 approx 3.2194
Calculando x1^(5) approx 2.5138 x2^(5) approx 1.7899 x3^(5) approx 3.2194 :
Calculando :
Assim, na quinta iteração:

Resposta

Após 5 iterações, as aproximações obtidas são:
x1 approx 2.5138 x2 approx 1.7899 x3 approx 3.2194
Como o critério de parada de não foi alcançado dentro das 5 iterações, recomendamos realizar um pivotamento parcial no sistema para melhorar a convergência.

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