Aplique o Método de Gauss-Jacobi para resolver o sistema linear abaixo com precisão . Considere como critério de parada max , como aproximação inicial: x1 ^(0)=2.7, x2 ^(0)=4.2, x3 ^(0)=5.5. Indique em sua resposta as aproximações obtidas a cada iteração do método, até obter a precisão estabelecida ou até calcular 5 iterações. Caso os critérios de convergência não sejam atendidos, efetue apenas pivotamento parcial no sistema linear. Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento. 17.5 x1+6.1 x2-9.4 x3=21.2 -8.3 x1-3.8 x2+12.9 x3=32.6 -5.7 x1-10 x2+3.2 x3=-39.8
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Gauss-Jacobi! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de , e que satisfazem as equações dadas, usando iterações até que a diferença entre as aproximações seja menor que ou até completar 5 iterações. Vamos precisar entender como o Método de Gauss-Jacobi funciona, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema para isolar cada variável. Isso vai nos ajudar a criar as fórmulas de iteração.
Agora, vamos verificar o critério de parada. Precisamos ver se a máxima diferença entre as novas e antigas aproximações é menor que |x1^(1) - x1^(0)| = |2.7029 - 2.7| approx 0.0029 |x2^(1) - x2^(0)| = |4.1895 - 4.2| approx 0.0105 |x3^(1) - x3^(0)| = |5.4969 - 5.5| approx 0.0031 .
A maior diferença é x2^(2) = 32.6 + 8.3 times 2.7029 - 12.9 times 5.4969-3.8 approx 32.6 + 22.43107 - 70.7610-3.8 approx -15.7299-3.8 approx 4.1355 , que é maior que x3^(2) = -39.8 + 5.7 times 2.7029 + 10 times 4.18953.2 approx -39.8 + 15.4001 + 41.8953.2 approx 17.49513.2 approx 5.4685 . Então, precisamos fazer mais uma iteração.
A maior diferença é x1^(5) = 21.2 - 6.1 times 3.4986 + 9.4 times 4.687617.5 approx 21.2 - 21.34446 + 44.087417.5 approx 43.942917.5 approx 2.5138 , então vamos para a quinta e última iteração permitida.
Como o critério de parada de não foi alcançado dentro das 5 iterações, recomendamos realizar um pivotamento parcial no sistema para melhorar a convergência.