Aplique o Método de Gauss-Jordan para resolver o sistema linear abaixo. Indique em sua resposta os coeficientes e termos independentes do sistema obtido após todas as etapas do escalonamento. Sua resposta deve também indicar a solução do sistema. Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações dado usando o Método de Gauss-Jordan. Esse método ajuda a encontrar a solução de sistemas lineares transformando o sistema em uma forma escalonada e, em seguida, reduzindo-o para a forma reduzida. Para isso, vamos precisar manipular as equações para isolar as variáveis passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz reduzida por linha, onde teremos 1’s na diagonal principal e 0’s acima e abaixo desses 1’s. Para isso, começamos pela primeira linha. Vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 dividindo toda a primeira linha por -4.5:
Calculando os valores:
Passo 4
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
-
Subtraímos 7.1 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 7.1 times R1 -
Subtraímos 4.8 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 4.8 times R1
Calculando:
Atualizando a matriz:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Primeiro, vamos tornar o segundo elemento da segunda linha igual a 1 dividindo toda a segunda linha por -0.9444:
Passo 6
Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna:
-
Subtraímos 2.1111 vezes a segunda linha da primeira linha:
R1 = R1 - 2.1111 times R2 -
Adicionamos 7.1333 vezes a segunda linha à terceira linha:
R3 = R3 + 7.1333 times R2
Calculando:
Atualizando a matriz:
Passo 7
Agora, vamos resolver para a terceira variável. Primeiro, tornamos o terceiro elemento da terceira linha igual a 1 dividindo toda a terceira linha por -239.8:
Passo 8
Finalmente, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna:
-
Subtraímos 75.2774 vezes a terceira linha da primeira linha:
R1 = R1 - 75.2774 times R3 -
Adicionamos 35.9662 vezes a terceira linha à segunda linha:
R2 = R2 + 35.9662 times R3
Calculando:
A matriz final fica:
Resposta
Após todas as etapas do Método de Gauss-Jordan, o sistema escalonado obtido é:
Portanto, a solução do sistema é: