Aplique o Método de Gauss-Jordan para resolver o sistema linear abaixo. Indique em sua resposta os coeficientes e termos independentes do sistema obtido após todas as etapas do escalonamento. Sua resposta deve também indicar a solução do sistema. Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
-4.5 x-9.5 y+15.1 z=-178.2
7.1 x+17.6 y+9.6 z=158.7
4.8 x+2.6 y+1 z=44

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações dado usando o Método de Gauss-Jordan. Esse método ajuda a encontrar a solução de sistemas lineares transformando o sistema em uma forma escalonada e, em seguida, reduzindo-o para a forma reduzida. Para isso, vamos precisar manipular as equações para isolar as variáveis passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
-4.5 & -9.5 & 15.1 & | & -178.2 7.1 & 17.6 & 9.6 & | & 158.7 4.8 & 2.6 & 1 & | & 44

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz reduzida por linha, onde teremos 1’s na diagonal principal e 0’s acima e abaixo desses 1’s. Para isso, começamos pela primeira linha. Vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 dividindo toda a primeira linha por -4.5:
R1 = R1-4.5 Rightarrow 1 & 9.54.5 & -15.14.5 & | & 178.24.5 7.1 & 17.6 & 9.6 & | & 158.7 4.8 & 2.6 & 1 & | & 44
Calculando os valores:
1 & 2.1111 & -3.3556 & | & 39.6 7.1 & 17.6 & 9.6 & | & 158.7 4.8 & 2.6 & 1 & | & 44

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 7.1 vezes a primeira linha da segunda linha:
    R2 = R2 - 7.1 times R1
  • Subtraímos 4.8 vezes a primeira linha da terceira linha:
    R3 = R3 - 4.8 times R1
Calculando:
R2 = [7.1, 17.6, 9.6, |, 158.7] - 7.1 times [1, 2.1111, -3.3556, |, 39.6] = [0, -0.9444, 34.0222, |, -113.61]
R3 = [4.8, 2.6, 1, |, 44] - 4.8 times [1, 2.1111, -3.3556, |, 39.6] = [0, -7.1333, 17.96, |, -135.08]
Atualizando a matriz:
1 & 2.1111 & -3.3556 & | & 39.6 0 & -0.9444 & 34.0222 & | & -113.61 0 & -7.1333 & 17.96 & | & -135.08

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Primeiro, vamos tornar o segundo elemento da segunda linha igual a 1 dividindo toda a segunda linha por -0.9444:
R2 = R2-0.9444 Rightarrow 1 & 2.1111 & -3.3556 & | & 39.6 0 & 1 & -35.9662 & | & 120.0 0 & -7.1333 & 17.96 & | & -135.08

Passo 6

Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna:
  • Subtraímos 2.1111 vezes a segunda linha da primeira linha:
    R1 = R1 - 2.1111 times R2
  • Adicionamos 7.1333 vezes a segunda linha à terceira linha:
    R3 = R3 + 7.1333 times R2
Calculando:
R1 = [1, 2.1111, -3.3556, |, 39.6] - 2.1111 times [0, 1, -35.9662, |, 120.0] = [1, 0, 75.2774, |, -204.0]
R3 = [0, -7.1333, 17.96, |, -135.08] + 7.1333 times [0, 1, -35.9662, |, 120.0] = [0, 0, -239.8, |, 720.0]
Atualizando a matriz:
1 & 0 & 75.2774 & | & -204.0 0 & 1 & -35.9662 & | & 120.0 0 & 0 & -239.8 & | & 720.0

Passo 7

Agora, vamos resolver para a terceira variável. Primeiro, tornamos o terceiro elemento da terceira linha igual a 1 dividindo toda a terceira linha por -239.8:
R3 = R3-239.8 Rightarrow 1 & 0 & 75.2774 & | & -204.0 0 & 1 & -35.9662 & | & 120.0 0 & 0 & 1 & | & -3.0

Passo 8

Finalmente, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna:
  • Subtraímos 75.2774 vezes a terceira linha da primeira linha:
    R1 = R1 - 75.2774 times R3
  • Adicionamos 35.9662 vezes a terceira linha à segunda linha:
    R2 = R2 + 35.9662 times R3
Calculando:
R1 = [1, 0, 75.2774, |, -204.0] - 75.2774 times [0, 0, 1, |, -3.0] = [1, 0, 0, |, 21.83]
R2 = [0, 1, -35.9662, |, 120.0] + 35.9662 times [0, 0, 1, |, -3.0] = [0, 1, 0, |, 23.1]
A matriz final fica:
1 & 0 & 0 & | & 21.83 0 & 1 & 0 & | & 23.1 0 & 0 & 1 & | & -3.0

Resposta

Após todas as etapas do Método de Gauss-Jordan, o sistema escalonado obtido é:
x = 21.8300 y = 23.1000 z = -3.0000
Portanto, a solução do sistema é:
x = 21.8300, y = 23.1000, z = -3.0000

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