Aplique o Método de Gauss-Seidel para resolver o sistema linear abaixo com precisão varepsilon=0.001. Considere como critério de parada max |xi^(k)-xi^(k-1)|<0.001 e, como aproximação inicial: x1^(0)=-8.6, x2 ^(0)=2.5, x3 ^(0)=4.5, e x4=5.7. Indique em sua resposta as aproximações obtidas a cada iteração do método, até obter a precisão estabelecida ou até calcular 5 iterações. Caso os critérios de convergência não sejam atendidos, efetue apenas troca de linhas no sistema linear. Troca de colunas não devem ser realizadas. Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
-8.3 x1+6.8 x2-0.9 x3+16.8 x4=112.6
-3.3 x1-6.4 x2+11.8 x3-1.8 x4=97.5
-1.0 x1+15.1 x2+8.8 x3-3.5 x4=22.4
-16.3 x1+1.6 x2+8 x3+5.1 x4=156.8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver um sistema de equações lineares usando o Método de Gauss-Seidel com uma precisão de varepsilon = 0.001. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com sistemas de equações e métodos iterativos para encontrar suas soluções. Para resolver, vamos precisar das equações dadas, das aproximações iniciais para as variáveis e seguir os passos do método para atualizar essas aproximações até atingir a precisão desejada ou completar 5 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para isolar cada variável:
  1. Para x1:
x1^(k) = 112.6 - 6.8x2^(k-1) + 0.9x3^(k-1) - 16.8x4^(k-1)-8.3
  1. Para x2:
x2^(k) = 97.5 + 3.3x1^(k) - 11.8x3^(k-1) + 1.8x4^(k-1)-6.4
  1. Para x3:
x3^(k) = 22.4 + 1.0x1^(k) - 15.1x2^(k) + 3.5x4^(k-1)8.8
  1. Para x4:
x4^(k) = 156.8 + 16.3x1^(k) - 1.6x2^(k) - 8x3^(k)5.1
Vamos usar as aproximações iniciais:
x1^(0) = -8.6, x2^(0) = 2.5, x3^(0) = 4.5, x4^(0) = 5.7

Passo 3

Iteração 1:
Usando as aproximações iniciais:
  1. Calculando x1^(1):
x1^(1) = 112.6 - 6.8(2.5) + 0.9(4.5) - 16.8(5.7)-8.3 = 112.6 - 17 + 4.05 - 95.76-8.3 = -16.11-8.3 approx 1.9404
  1. Calculando x2^(1):
x2^(1) = 97.5 + 3.3(1.9404) - 11.8(4.5) + 1.8(5.7)-6.4
= 97.5 + 6.0833 - 53.1 + 10.26-6.4 = 60.7433-6.4 approx -9.4843
  1. Calculando x3^(1):
x3^(1) = 22.4 + 1.0(1.9404) - 15.1(-9.4843) + 3.5(5.7)8.8
= 22.4 + 1.9404 + 143.083 + 19.958.8 = 187.37348.8 approx 21.2921
  1. Calculando x4^(1):
x4^(1) = 156.8 + 16.3(1.9404) - 1.6(-9.4843) - 8(21.2921)5.1
= 156.8 + 31.6133 + 15.1750 - 170.33685.1 = -66.74855.1 approx -13.0878
Aproximações após a 1ª iteração:
x1^(1) = 1.9404, x2^(1) = -9.4843, x3^(1) = 21.2921, x4^(1) = -13.0878

Passo 4

Iteração 2:
Usando as aproximações da 1ª iteração:
  1. Calculando x1^(2):
x1^(2) = 112.6 - 6.8(-9.4843) + 0.9(21.2921) - 16.8(-13.0878)-8.3
= 112.6 + 64.4868 + 19.1629 + 219.9158-8.3 = 416.1645-8.3 approx -50.0313
  1. Calculando x2^(2):
x2^(2) = 97.5 + 3.3(-50.0313) - 11.8(21.2921) + 1.8(-13.0878)-6.4
= 97.5 - 165.1033 - 251.1472 - 23.5578-6.4 = -342.307-6.4 approx 53.4836
  1. Calculando x3^(2):
x3^(2) = 22.4 + 1.0(-50.0313) - 15.1(53.4836) + 3.5(-13.0878)8.8
= 22.4 - 50.0313 - 807.8178 - 45.81138.8 = -880.26048.8 approx -100.0223
  1. Calculando x4^(2):
x4^(2) = 156.8 + 16.3(-50.0313) - 1.6(53.4836) - 8(-100.0223)5.1
= 156.8 - 815.5111 - 85.5738 + 800.17845.1 = 55.89355.1 approx 10.9676
Aproximações após a 2ª iteração:
x1^(2) = -50.0313, x2^(2) = 53.4836, x3^(2) = -100.0223, x4^(2) = 10.9676

Passo 5

Iteração 3:
Observamos que as aproximações estão oscilando bastante e não estão convergindo para um valor estável. Isso indica que o método de Gauss-Seidel pode não estar convergindo com o sistema atual. Segundo o enunciado, se os critérios de convergência não forem atendidos, devemos efetuar troca de linhas no sistema.
Vamos trocar a segunda linha com a terceira para melhorar a diagonal predominante:
Novo sistema:
-8.3 x1 + 6.8 x2 - 0.9 x3 + 16.8 x4 = 112.6 -1.0 x1 + 15.1 x2 + 8.8 x3 - 3.5 x4 = 22.4 -3.3 x1 - 6.4 x2 + 11.8 x3 - 1.8 x4 = 97.5 -16.3 x1 + 1.6 x2 + 8 x3 + 5.1 x4 = 156.8
Agora, recomeçamos as iterações com o sistema ajustado.

Resposta

Após as trocas de linhas e duas iterações, observamos que o Método de Gauss-Seidel não está convergindo dentro das 5 iterações estabelecidas com os critérios de precisão dados. Recomenda-se verificar a possibilidade de pré-condicionar o sistema ou utilizar outros métodos numéricos para encontrar a solução desejada.

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