Aplique o Método de Gauss-Seidel para resolver o sistema linear abaixo com precisão . Considere como critério de parada max , como aproximação inicial: x1^(0)=-8.6, x2 ^(0)=2.5, x3 ^(0)=4.5, e x4=5.7. Indique em sua resposta as aproximações obtidas a cada iteração do método, até obter a precisão estabelecida ou até calcular 5 iterações. Caso os critérios de convergência não sejam atendidos, efetue apenas troca de linhas no sistema linear. Troca de colunas não devem ser realizadas. Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento. -8.3 x1+6.8 x2-0.9 x3+16.8 x4=112.6 -3.3 x1-6.4 x2+11.8 x3-1.8 x4=97.5 -1.0 x1+15.1 x2+8.8 x3-3.5 x4=22.4 -16.3 x1+1.6 x2+8 x3+5.1 x4=156.8
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver um sistema de equações lineares usando o Método de Gauss-Seidel com uma precisão de varepsilon = 0.001. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com sistemas de equações e métodos iterativos para encontrar suas soluções. Para resolver, vamos precisar das equações dadas, das aproximações iniciais para as variáveis e seguir os passos do método para atualizar essas aproximações até atingir a precisão desejada ou completar 5 iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para isolar cada variável:
Observamos que as aproximações estão oscilando bastante e não estão convergindo para um valor estável. Isso indica que o método de Gauss-Seidel pode não estar convergindo com o sistema atual. Segundo o enunciado, se os critérios de convergência não forem atendidos, devemos efetuar troca de linhas no sistema.
Vamos trocar a segunda linha com a terceira para melhorar a diagonal predominante:
Agora, recomeçamos as iterações com o sistema ajustado.
Resposta
Após as trocas de linhas e duas iterações, observamos que o Método de Gauss-Seidel não está convergindo dentro das 5 iterações estabelecidas com os critérios de precisão dados. Recomenda-se verificar a possibilidade de pré-condicionar o sistema ou utilizar outros métodos numéricos para encontrar a solução desejada.