Aplique o Método de Gauss-Seidel para resolver o sistema linear abaixo com precisão varepsilon=0.001. Considere como critério de parada max |xi^(k)-xi^(k-1)|<0.001 e, como aproximação inicial: x1^(0)=-8.6, x2 ^(0)=2.5, x3 ^(0)=4.5, e x4=5.7. Indique em sua resposta as aproximações obtidas a cada iteração do método, até obter a precisão estabelecida ou até calcular 5 iterações. Caso os critérios de convergência não sejam atendidos, efetue apenas troca de linhas no sistema linear. Troca de colunas não devem ser realizadas. Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
1.9 x1-2.4 x2+10.1 x3-5.1 x4=-6 5.8 x1+8.3 x2-0.5 x3+1 x4=-25.7 -4.1 x1+0.7 x2+0.8 x3-5.9 x4=7 -25.3 x1+6.5 x2+7.4 x3-9.8 x4=211.3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss-Seidel! A questão envolve um sistema linear com quatro variáveis: e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações, usando aproximações iniciais e iterando até que a precisão desejada ( ) seja alcançada ou até completar 5 iterações. Para isso, vamos precisar reorganizar cada equação para isolar uma variável de cada vez e usar as aproximações mais recentes disponíveis durante as iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada uma das quatro equações para isolar x1 = -6 + 2.4x2 - 10.1x3 + 5.1x41.9 e x2 = -25.7 - 5.8x1 + 0.5x3 - 1x48.3 :
  1. Isolando x3 = 7 + 4.1x1 - 0.7x2 + 5.9x40.8 :
    x4 = 211.3 + 25.3x1 - 6.5x2 - 7.4x3-9.8
  2. Isolando x1^(0) = -8.6, x2^(0) = 2.5, x3^(0) = 4.5, x4^(0) = 5.7 :
  3. Isolando :
  4. Isolando :
Agora, vamos iniciar as iterações com as aproximações iniciais fornecidas:

Passo 3

Iteração 1:
Usando as aproximações iniciais para calcular as primeiras aproximações:
  1. Calculando x1^(1) = -6 + 2.4(2.5) - 10.1(4.5) + 5.1(5.7)1.9 = -6 + 6 - 45.45 + 29.071.9 = -16.381.9 approx -8.6105 :
    x2^(1) = -25.7 - 5.8(-8.6105) + 0.5(4.5) - 1(5.7)8.3 = -25.7 + 49.909 + 2.25 - 5.78.3 = 20.7598.3 approx 2.5010
  2. Calculando x3^(1) = 7 + 4.1(-8.6105) - 0.7(2.5010) + 5.9(5.7)0.8 = 7 - 35.0805 - 1.7507 + 33.630.8 = 3.79880.8 approx 4.7485 :
    x4^(1) = 211.3 + 25.3(-8.6105) - 6.5(2.5010) - 7.4(4.7485)-9.8 = 211.3 - 217.877 - 16.2565 - 35.137-9.8 = -57.97-9.8 approx 5.9071
  3. Calculando :
  4. Calculando :

Passo 4

Iteração 2:
Usando as novas aproximações obtidas na Iteração 1:
  1. Calculando x1^(2) = -6 + 2.4(2.5010) - 10.1(4.7485) + 5.1(5.9071)1.9 = -6 + 6.0024 - 47.9969 + 30.19521.9 = -17.79931.9 approx -9.3681 :
    x2^(2) = -25.7 - 5.8(-9.3681) + 0.5(4.7485) - 1(5.9071)8.3 = -25.7 + 54.2228 + 2.3742 - 5.90718.3 = 24.98998.3 approx 3.0123
  2. Calculando x3^(2) = 7 + 4.1(-9.3681) - 0.7(3.0123) + 5.9(5.9071)0.8 = 7 - 38.3872 - 2.1086 + 34.81830.8 = 1.32250.8 approx 1.6531 :
    x4^(2) = 211.3 + 25.3(-9.3681) - 6.5(3.0123) - 7.4(1.6531)-9.8 = 211.3 - 237.1041 - 19.57995 - 12.2149-9.8 = -57.598-9.8 approx 5.8786
  3. Calculando :
  4. Calculando :

Passo 5

Vamos verificar se a diferença entre as aproximações das Iterações 1 e 2 é menor que |x1^(2) - x1^(1)| &= |-9.3681 - (-8.6105)| = 0.7576 |x2^(2) - x2^(1)| &= |3.0123 - 2.5010| = 0.5113 |x3^(2) - x3^(1)| &= |1.6531 - 4.7485| = 3.0954 |x4^(2) - x4^(1)| &= |5.8786 - 5.9071| = 0.0285 :
Como todas as diferenças são maiores que 0.001, precisamos realizar mais iterações.

Passo 6

Iteração 3:
Usando as aproximações da Iteração 2:
  1. Calculando x1^(3) = -6 + 2.4(3.0123) - 10.1(1.6531) + 5.1(5.8786)1.9 = -6 + 7.2295 - 16.7463 + 30.00091.9 = 14.48311.9 approx 7.6149 :
    x2^(3) = -25.7 - 5.8(7.6149) + 0.5(1.6531) - 1(5.8786)8.3 = -25.7 - 44.1103 + 0.8266 - 5.87868.3 = -75.86238.3 approx -9.1467
  2. Calculando x3^(3) = 7 + 4.1(7.6149) - 0.7(-9.1467) + 5.9(5.8786)0.8 = 7 + 31.1081 + 6.4027 + 34.60490.8 = 78.11570.8 approx 97.6446 :
    x4^(3) = 211.3 + 25.3(7.6149) - 6.5(-9.1467) - 7.4(97.6446)-9.8 = 211.3 + 192.3515 + 59.4536 - 722.382-9.8 = -259.277-9.8 approx 26.4644
  3. Calculando :
  4. Calculando :

Passo 7

Vamos verificar as diferenças entre as aproximações das Iterações 2 e 3:
|x1^(3) - x1^(2)| &= |7.6149 - (-9.3681)| = 16.9829 |x2^(3) - x2^(2)| &= |-9.1467 - 3.0123| = 12.1590 |x3^(3) - x3^(2)| &= |97.6446 - 1.6531| = 95.9915 |x4^(3) - x4^(2)| &= |26.4644 - 5.8786| = 20.5858
As diferenças ainda são bem maiores que 0.001, mas notamos que as aproximações estão divergindo. Isso indica que o método pode não estar convergindo para este sistema com as aproximações iniciais escolhidas ou a diagonal dominante não está presente.

Resposta

Após 3 iterações, as aproximações são:
x1 approx 7.6149 x2 approx -9.1467 x3 approx 97.6446 x4 approx 26.4644
Como os critérios de convergência não foram atendidos nas 3 iterações realizadas, recomenda-se verificar a possibilidade de rearranjar as linhas do sistema para melhorar a convergência ou considerar outros métodos numéricos.

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