Resolva o sistema de equações abaixo pelo método de Relaxação. Realize os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento. Considere o erro máximo como erro <= 0,1, ou até 7 iterações.
& 5 x1+2 x2+x3=-12 & -1 x1+4 x2+2 x3=20 & 2 x1-3 x2+10 x3=3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três variáveis:
5 x1 + 2 x2 + x3 &= -12 -1 x1 + 4 x2 + 2 x3 &= 20 2 x1 - 3 x2 + 10 x3 &= 3
Queremos resolver esse sistema usando o método de Relaxação, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações, escolher valores iniciais para as variáveis e realizar as iterações até que a diferença entre as soluções consecutivas seja menor ou igual a 0,1 ou até atingir 7 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis. Isso facilita a aplicação do método de Relaxação. Vamos isolar cada variável em uma equação diferente:
  1. Isolando x1 = -12 - 2x2 - x35 na primeira equação:
x2 = 20 + x1 - 2x34
  1. Isolando x3 = 3 - 2x1 + 3x210 na segunda equação:
  1. Isolando na terceira equação:

Passo 3

Agora, precisamos escolher valores iniciais para x1^(0) = 0 x2^(0) = 0 x3^(0) = 0 , e . Uma escolha comum é começar com zeros:

Passo 4

Vamos realizar a primeira iteração usando os valores iniciais para calcular novos valores para x1^(1) = -12 - 2(0) - 05 = -125 = -2,4 , x2^(1) = 20 + (-2,4) - 2(0)4 = 17,64 = 4,4 e x3^(1) = 3 - 2(-2,4) + 3(4,4)10 = 3 + 4,8 + 13,210 = 2110 = 2,1 :
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Passo 5

Vamos para a segunda iteração usando os valores obtidos na primeira iteração:
  1. Calculando x1^(2) = -12 - 2(4,4) - 2,15 = -12 - 8,8 - 2,15 = -22,95 = -4,58 :
x2^(2) = 20 + (-4,58) - 2(2,1)4 = 20 - 4,58 - 4,24 = 11,224 = 2,805
  1. Calculando x3^(2) = 3 - 2(-4,58) + 3(2,805)10 = 3 + 9,16 + 8,41510 = 20,57510 = 2,0575 :
  1. Calculando :

Passo 6

Vamos para a terceira iteração:
  1. Calculando x1^(3) = -12 - 2(2,805) - 2,05755 = -12 - 5,61 - 2,05755 = -19,66755 = -3,9335 :
x2^(3) = 20 + (-3,9335) - 2(2,0575)4 = 20 - 3,9335 - 4,1154 = 11,95154 = 2,9879
  1. Calculando x3^(3) = 3 - 2(-3,9335) + 3(2,9879)10 = 3 + 7,867 + 8,963710 = 19,830710 = 1,9831 :
  1. Calculando :

Passo 7

Vamos para a quarta iteração:
  1. Calculando x1^(4) = -12 - 2(2,9879) - 1,98315 = -12 - 5,9758 - 1,98315 = -19,95895 = -3,9918 :
x2^(4) = 20 + (-3,9918) - 2(1,9831)4 = 20 - 3,9918 - 3,96624 = 12,0424 = 3,0105
  1. Calculando x3^(4) = 3 - 2(-3,9918) + 3(3,0105)10 = 3 + 7,9836 + 9,031510 = 20,015110 = 2,0015 :
  1. Calculando :

Passo 8

Vamos para a quinta iteração:
  1. Calculando x1^(5) = -12 - 2(3,0105) - 2,00155 = -12 - 6,021 - 2,00155 = -20,02255 = -4,0045 :
x2^(5) = 20 + (-4,0045) - 2(2,0015)4 = 20 - 4,0045 - 4,0034 = 11,99254 = 2,9981
  1. Calculando x3^(5) = 3 - 2(-4,0045) + 3(2,9981)10 = 3 + 8,009 + 8,994310 = 20,003310 = 2,0003 :
  1. Calculando :

Passo 9

Vamos para a sexta iteração:
  1. Calculando x1^(6) = -12 - 2(2,9981) - 2,00035 = -12 - 5,9962 - 2,00035 = -19,99655 = -3,9993 :
x2^(6) = 20 + (-3,9993) - 2(2,0003)4 = 20 - 3,9993 - 4,00064 = 12,00014 = 3,0000
  1. Calculando x3^(6) = 3 - 2(-3,9993) + 3(3,0000)10 = 3 + 7,9986 + 910 = 19,998610 = 1,9999 :
  1. Calculando :

Passo 10

Vamos para a sétima e última iteração:
  1. Calculando x1^(7) = -12 - 2(3,0000) - 1,99995 = -12 - 6 - 1,99995 = -19,99995 = -4,0000 :
x2^(7) = 20 + (-4,0000) - 2(1,9999)4 = 20 - 4 - 3,99984 = 12,00024 = 3,0001
  1. Calculando x3^(7) = 3 - 2(-4,0000) + 3(3,0001)10 = 3 + 8 + 9,000310 = 20,000310 = 2,0000 :
  1. Calculando :

Resposta

Após 7 iterações, os valores aproximados das soluções do sistema são:
x1 approx -4,0000 x2 approx 3,0000 x3 approx 2,0000

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